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为了求解用长 20 米的篱笆围一面靠墙的矩形菜园，使得面积最大时的长和宽，我们可以按照以下步骤进行： ### 1. 问题分析 - 问题类型：最值问题 - 已知条件：总篱笆长度为 20 米，菜园一面靠墙 - 求解目标：面积最大时的长和宽 ### 2. 解题步骤 #### 步骤1：定义变量 设菜园的宽为 \( x \) 米，长为 \( y \) 米。由于菜园一面靠墙，所以用篱笆围的三边总长度为 \( 2x + y = 20 \) 米。 #### 步骤2：表达面积 菜园的面积 \( S \) 可以表示为： \[ S = x \cdot y \] #### 步骤3：消去一个变量 从 \( 2x + y = 20 \) 中解出 \( y \)： \[ y = 20 - 2x \] 将 \( y \) 代入面积公式： \[ S = x \cdot (20 - 2x) = 20x - 2x^2 \] #### 步骤4：求最大面积 函数 \( S = 20x - 2x^2 \) 是一个二次函数，其图象是一条开口向下的抛物线。二次函数 \( ax^2 + bx + c \) 的最大值（或最小值）在 \( x = -\frac{b}{2a} \) 处取得。这里 \( a = -2 \) 和 \( b = 20 \)，所以： \[ x = -\frac{20}{2(-2)} = 5 \] #### 步骤5：求对应的 \( y \) 将 \( x = 5 \) 代入 \( y = 20 - 2x \)： \[ y = 20 - 2(5) = 10 \] ### 3. 答案验证 当 \( x = 5 \) 米， \( y = 10 \) 米时，面积 \( S \) 为： \[ S = 5 \cdot 10 = 50 \text{ 平方米} \] ### 4. 其他解法 除了使用二次函数的性质，我们也可以使用导数来求最大值。对 \( S = 20x - 2x^2 \) 求导： \[ \frac{dS}{dx} = 20 - 4x \] 令导数等于零求 critical points： \[ 20 - 4x = 0 \] \[ x = 5 \] 通过二阶导数 test 确定最大值： \[ \frac{d^2S}{dx^2} = -4 \] 由于二阶导数为负， \( x = 5 \) 处取得最大值。 ### 最终答案 面积最大时的长为 \( \boxed{10} \) 米，宽为 \( \boxed{5} \) 米。
对于这个问题，我们可以将其转化为一个优化几何问题，并结合函数求最值的方法进行解决。以下是具体的解题过程： ## 问题分析 ### 问题类型 这是一个典型的最值问题，涉及到抛物线的应用，以及几何面积的最大值。在几何上，我们通过一个给定长度的篱笆来围一个矩形菜园，并求最大面积。在数学上，这与求函数的最大值高度相关。 ### 已知条件 - 总篱笆长度：20 米。 - 因为菜园的一面靠墙，所以只有三面需要围篱笆。 - 因此，设长为 `x` 米，宽为 `y` 米，则篱笆的总长度公式为：`x + 2y = 20`。 ### 求解目标 求面积最大时的矩形菜园的长（`x`）和宽（`y`）。 ## 解题步骤 ### 步骤1：建立函数关系式 - 将条件公式 `x + 2y = 20` 变换为代入公式：`x = 20 - 2y`。 - 因为面积 `A` = 长 `x` × 宽 `y`，则 `A = xy`。 - 将 `x` 用 `y` 表示，把面积 `A` 表示为单变量函数：`A = (20 - 2y)y = 20y - 2y^2`。 - 这个面积公式 `A = 20y - 2y^2` 是一个关于 `y` 的二次函数。 ### 步骤2：求面积的最大值 - 将二次函数写成标准形式：`A = -2y^2 + 20y`。 - 这是一个开口向下的抛物线，最高点处函数取最大值。 - 求其顶点 `y`，”顶点公式“：`y = -b/(2a)`，这里 `a = -2`，`b = 20`。 - 代入得：`y = -20/(2 * -2) = 5`。 - 因此，当 `y = 5` 时，面积最大。 ### 步骤3：求长和宽 - 将 `y = 5` 代入 `x = 20 - 2y` 中，得到 `x = 20 - 2 * 5 = 10`。 - 所以，最大面积时，长为 `x = 10`，宽为 `y = 5`。 ## 答案验证 - 用长 `x` = 10 米和宽 `y` = 5 米，计算总篱笆长度：`x + 2y = 10 + 2 * 5 = 20` 米，符合条件。 - 这样，面积 `A = 10 * 5 = 50` 平方米，是最大值。 ## 其他解法 ### 解法1：图像法 - 可以画出函数 `A = -2y^2 + 20y` 的图像，观察图像的几何性质（开口向下），确认极大值。 ### 解法2：微积分法（适用于有微积分知识的学生） - 利用微分求极值的方法，对 `A = 20y - 2y^2` 求导，设 `dA/dy = 0`，解得 `y = 5`，从而验证极值所在。 通过以上方法，我们能明确地将实际问题转化为数学问题，运用二次函数的性质求解最大值，并以此培养学生对问题的数学模型化思维。
### 问题分析 - **问题类型**: 最值问题（优化问题） - **已知条件**: - 篱笆长度为 20 米 - 园地为矩形，靠墙一侧不需要篱笆 - **求解目标**: 求面积最大时的矩形的长和宽 ### 解题步骤 #### 步骤1: 设定变量与表达式 - 设矩形的宽为 \( x \) 米，长为 \( y \) 米。 - 根据题意，矩形的周长公式为： \[ y + 2x = 20 \] 从中可得： \[ y = 20 - 2x \] #### 步骤2: 表达面积 - 矩形的面积 \( A \) 可以表示为： \[ A = x \cdot y = x(20 - 2x) = 20x - 2x^2 \] #### 步骤3: 求最大值 - 对面积函数 \( A \) 进行求导： \[ \frac{dA}{dx} = 20 - 4x \] - 令导数等于零以找到极值点： \[ 20 - 4x = 0 \implies x = 5 \] - 代入 \( y \) 的表达式： \[ y = 20 - 2(5) = 10 \] #### 步骤4: 验证极值 - 计算 \( A \) 在 \( x = 5 \) 时的值： \[ A = 5 \cdot 10 = 50 \text{ 平方米} \] - 检查边界条件 \( x = 0 \) 和 \( x = 10 \) 时的面积： - 当 \( x = 0 \): \( A = 0 \) - 当 \( x = 10 \): \( A = 10 \cdot 0 = 0 \) ### 答案验证 - 最大面积为 50 平方米，发生在 \( x = 5 \) 米，\( y = 10 \) 米。 ### 其他解法 - **解法1**: 使用二次函数的性质，面积函数 \( A = -2x^2 + 20x \) 是开口向下的抛物线，顶点即为最大值。 - **解法2**: 通过图形法，绘制 \( y = 20 - 2x \) 和 \( A = x(20 - 2x) \) 的图像，找出最大面积对应的 \( x \) 值。 最终得出结论：为了使面积最大，矩形的长为 10 米，宽为 5 米。
### 问题分析 **问题类型**：二次函数最值应用题（抛物线与几何结合） **已知条件**： - 篱笆总长20米，一面靠墙围成矩形菜园 - 墙作为矩形的一条长边，篱笆围剩余三边 **求解目标**： 当矩形面积最大时，长和宽的具体数值 --- ### 解题步骤 #### 步骤1：建立变量与函数关系 **数学原理**：矩形面积公式 $S = 长 \times 宽$，约束条件下建立函数模型 **推导过程**： 1. 设垂直于墙的边长为宽 $x$ 米，则平行于墙的边长为长 $y = 20 - 2x$ 米（篱笆总长为 $2x + y = 20$）。 2. 面积 $S(x) = x \cdot y = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x$。 --- #### 步骤2：求二次函数的最大值 **数学原理**：二次函数顶点公式 $x = -\frac{b}{2a}$（开口向下时顶点为最大值） **推导过程**： 1. 函数形式 $S(x) = -2x^2 + 20x$，其中 $a = -2$，$b = 20$。 2. 顶点横坐标 $x = -\frac{20}{2 \times (-2)} = 5$。 3. 代入 $x = 5$ 求长：$y = 20 - 2 \times 5 = 10$。 4. 最大面积 $S = 5 \times 10 = 50 \, \text{平方米}$。 --- ### 答案验证 **验证方法**：边界条件检验与实际意义分析 **验证结果**： 1. 当 $x = 5$ 时，满足 $0 < x < 10$（篱笆长度需为正）。 2. 若取 $x = 4$，则 $y = 12$，面积 $48 \, \text{平方米}$；若取 $x = 6$，则 $y = 8$，面积 $48 \, \text{平方米}$，均小于50平方米。 **结论**：解正确，最大面积为50平方米，此时长10米，宽5米。 --- ### 其他解法 #### 解法1：配方法 1. 将面积函数配方： $$ S(x) = -2x^2 + 20x = -2(x^2 - 10x) = -2\left[(x - 5)^2 - 25\right] = -2(x - 5)^2 + 50 $$ 2. 当 $x = 5$ 时，$S(x)$ 取得最大值50。 #### 解法2：均值不等式（需调整变量） 1. 设两段篱笆为 $x$ 和 $y$，满足 $2x + y = 20$。 2. 面积 $S = x \cdot y$，由均值不等式 $2x + y \geq 2\sqrt{2x \cdot y}$，当且仅当 $2x = y$ 时取等号。 3. 解得 $2x = y = 10$，即宽 $x = 5$，长 $y = 10$。 --- ### 规律总结 **最值问题通用思路**： 1. **建模**：将实际问题转化为二次函数或可求极值的模型。 2. **找顶点**：利用顶点公式、配方法或导数确定最值点。 3. **验证实际意义**：检查解是否满足物理约束（如长度为正）。 **举一反三**：类似问题（如最大利润、体积优化）均可通过建立函数模型求解。
| 模型名称 | 模型提供商 | 响应总时长（s） | 生成 token 数 | 首 token 延迟（s） | 生成速率（tokens/s） |
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19.45
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702
|
0.43
延迟最小
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36.08
速度最快
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30.1
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826
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1.48
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27.44
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15.75
响应最快
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0
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2.48
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0
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36.86
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1090
内容最多
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1.36
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29.57
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