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### 广告投放效果解析过程 #### **问题分析** 1. **问题类型**：多渠道预算分配优化问题，需在总预算约束下最大化总利润。 2. **已知条件**： - 总预算：10万元，需分配给3个渠道（A、B、C）。 - 各渠道CPA、预计转化量、每单利润及调整系数如下： | 渠道 | CPA（元/单） | 预计转化量（单） | 每单利润（元） | 调整系数 | |--------|-------------|------------------|----------------|----------| | 渠道A | 50 | 2000 | 80 | 0.5 | | 渠道B | 80 | 1500 | 120 | 0.8 | | 渠道C | 120 | 1000 | 200 | 1.2 | - 实际转化量公式： $$ \text{实际转化量}_i = \text{预计转化量}_i \times \left(1 + \text{调整系数}_i \times \frac{\text{预算分配}_i}{\text{总预算}}\right) $$ - 约束：每个渠道预算分配不低于1万元。 3. **求解目标**：确定各渠道最优预算分配金额，使总利润最大化。 --- #### **解题步骤** ##### **步骤1：建立总利润函数** 1. **实际转化量计算**： - 渠道A： $$ \text{转化量}_A = 2000 \times \left(1 + 0.5 \times \frac{x_A}{10^5}\right) = 2000 + 0.01x_A $$ - 渠道B： $$ \text{转化量}_B = 1500 \times \left(1 + 0.8 \times \frac{x_B}{10^5}\right) = 1500 + 0.012x_B $$ - 渠道C： $$ \text{转化量}_C = 1000 \times \left(1 + 1.2 \times \frac{x_C}{10^5}\right) = 1000 + 0.012x_C $$ 2. **总利润函数**： $$ \text{总利润} = \sum_{i=A,B,C} (\text{转化量}_i \times \text{每单利润}_i) - 10^5 $$ 展开后： $$ \text{总利润} = 440,000 + 0.8x_A + 1.44x_B + 2.4x_C $$ ##### **步骤2：约束优化** 1. **约束条件**： - $x_A + x_B + x_C = 10^5$ - $x_i \geq 10^4$（$i=A,B,C$） 2. **优化方法**： - 目标函数中系数越大，边际收益越高。由于$x_C$的系数最大（2.4），优先分配预算给渠道C。 - 最低预算约束下，剩余预算全部分配给渠道C： - 初始分配：$x_A = x_B = x_C = 10^4$（总和3万元）。 - 剩余预算：$10^5 - 3 \times 10^4 = 7 \times 10^4$，全部分配给渠道C。 - 最终分配：$x_A = 10^4$, $x_B = 10^4$, $x_C = 8 \times 10^4$。 --- #### **答案验证** 1. **验证方法**： - 计算总利润是否最大。 - 检查是否满足约束条件。 2. **验证结果**： - **预算分配**： - 渠道A：1万元，渠道B：1万元，渠道C：8万元。 - **转化量计算**： - 渠道A：$2000 \times (1 + 0.5 \times 0.1) = 2100$单，利润$2100 \times 80 = 168,000$元。 - 渠道B：$1500 \times (1 + 0.8 \times 0.1) = 1620$单，利润$1620 \times 120 = 194,400$元。 - 渠道C：$1000 \times (1 + 1.2 \times 0.8) = 1960$单，利润$1960 \times 200 = 392,000$元。 - **总利润**： $$ 168,000 + 194,400 + 392,000 - 10^5 = 654,400 \text{元} $$ - **约束满足**：所有渠道预算≥1万元，总和为10万元。 --- ### **最终答案** 各渠道最优预算分配金额为： - **渠道A**：10,000元 - **渠道B**：10,000元 - **渠道C**：80,000元 **最大总利润**：654,400元。
为了求解各渠道的最优预算分配金额，我们需要最大化总利润，总利润定义为总转化利润减去总消耗。我们首先定义各变量和约束条件，然后使用数学优化方法求解。 ### 定义变量 设 \( x_A \)、 \( x_B \)、 \( x_C \) 分别为渠道A、B、C的预算分配比例，满足 \( x_A + x_B + x_C = 1 \)。 ### 预算分配与实际转化量 各渠道的实际转化量为： - 渠道A： \( 2000 \times (1 + 0.5 x_A) \) - 渠道B： \( 1500 \times (1 + 0.8 x_B) \) - 渠道C： \( 1000 \times (1 + 1.2 x_C) \) ### 总消耗 总消耗为各渠道预算分配的总和，即 \( 100000 \times (x_A + x_B + x_C) = 100000 \)。 ### 总转化利润 总转化利润为各渠道实际转化量乘以每单利润的总和： - 渠道A： \( 2000 \times (1 + 0.5 x_A) \times 80 \) - 渠道B： \( 1500 \times (1 + 0.8 x_B) \times 120 \) - 渠道C： \( 1000 \times (1 + 1.2 x_C) \times 200 \) 总利润为： \[ \text{总利润} = \left[ 2000 \times (1 + 0.5 x_A) \times 80 + 1500 \times (1 + 0.8 x_B) \times 120 + 1000 \times (1 + 1.2 x_C) \times 200 \right] - 100000 \] ### 简化总利润表达式 \[ \text{总利润} = \left[ 160000 + 80000 x_A + 180000 + 144000 x_B + 200000 + 240000 x_C \right] - 100000 \] \[ \text{总利润} = 440000 + 80000 x_A + 144000 x_B + 240000 x_C \] ### 约束条件 \[ x_A + x_B + x_C = 1 \] \[ x_A \geq 0.1, \quad x_B \geq 0.1, \quad x_C \geq 0.1 \] ### 求解 为了最大化总利润，我们使用拉格朗日乘数法。定义拉格朗日函数： \[ \mathcal{L}(x_A, x_B, x_C, \lambda) = 440000 + 80000 x_A + 144000 x_B + 240000 x_C + \lambda (1 - x_A - x_B - x_C) \] 求偏导数并设为零： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_A} = 80000 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 80000 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_B} = 144000 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 144000 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_C} = 240000 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 240000 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 1 - x_A - x_B - x_C = 0 \quad \Rightarrow \quad x_A + x_B + x_C = 1 \] 由于 \(\lambda\) 的值不相等，说明最优解在边界上。考虑约束条件 \(x_A \geq 0.1, x_B \geq 0.1, x_C \geq 0.1\)，我们尝试不同的组合。 ### 检查边界解 1. \(x_C = 0.1\): \[ x_A + x_B = 0.9 \] \[ \text{总利润} = 440000 + 80000 x_A + 144000 x_B + 240000 \times 0.1 = 464000 + 80000 x_A + 144000 x_B \] \[ \text{总利润} = 464000 + 80000 x_A + 144000 (0.9 - x_A) = 464000 + 129600 + 64000 x_A = 593600 + 64000 x_A \] \[ \text{最大利润} = 593600 + 64000 \times 0.1 = 593600 + 6400 = 600000 \] \[ x_A = 0.1, x_B = 0.8, x_C = 0.1 \] 2. \(x_B = 0.1\): \[ x_A + x_C = 0.9 \] \[ \text{总利润} = 440000 + 80000 x_A + 144000 \times 0.1 + 240000 x_C = 458400 + 80000 x_A + 240000 x_C \] \[ \text{总利润} = 458400 + 80000 x_A + 240000 (0.9 - x_A) = 458400 + 216000 - 160000 x_A = 674400 - 160000 x_A \] \[ \text{最大利润} = 674400 - 160000 \times 0.1 = 674400 - 16000 = 658400 \] \[ x_A = 0.1, x_B = 0.1, x_C = 0.8 \] 3. \(x_A = 0.1\): \[ x_B + x_C = 0.9 \] \[ \text{总利润} = 440000 + 80000 \times 0.1 + 144000 x_B + 240000 x_C = 448000 + 144000 x_B + 240000 x_C \] \[ \text{总利润} = 448000 + 144000 x_B + 240000 (0.9 - x_B) = 448000 + 216000 + 96000 x_B = 664000 + 96000 x_B \] \[ \text{最大利润} = 664000 + 96000 \times 0.1 = 664000 + 9600 = 673600 \] \[ x_A = 0.1, x_B = 0.8, x_C = 0.1 \] ### 最优解 最大总利润为673600，对应的预算分配为: \[ x_A = 0.1, x_B = 0.8, x_C = 0.1 \] ### 转换为实际金额 \[ \text{渠道A预算} = 100000 \times 0.1 = 10000 \] \[ \text{渠道B预算} = 100000 \times 0.8 = 80000 \] \[ \text{渠道C预算} = 100000 \times 0.1 = 10000 \] ### 最终答案 \[ \boxed{10000, 80000, 10000} \]
为了解决这个问题，我们需要最大化广告投放的总利润。总利润定义为各渠道的总转化利润减去总消耗。我们将问题转化为一个数学优化问题，具体解析如下： ## 问题分析 1. **问题类型**：预算分配优化问题。 2. **已知条件**：各渠道的CPA、预计转化量、每单利润、调整系数以及预算总额。 3. **求解目标**：计算各渠道的最优预算分配金额，使总利润最大化。 ## 解题步骤 ### 步骤1：公式定义和构建 1. **总预算**为100,000元，各渠道分配的预算记为 \(X_A\)、\(X_B\)、\(X_C\)。 2. **约束条件**： - \(X_A + X_B + X_C = 100,000\) - \(X_A \geq 10,000\)、\(X_B \geq 10,000\)、\(X_C \geq 10,000\) 3. **各渠道的实际转化量**： - 渠道A: \( Q_A = 2000 \times (1 + 0.5 \times \frac{X_A}{100,000}) \) - 渠道B: \( Q_B = 1500 \times (1 + 0.8 \times \frac{X_B}{100,000}) \) - 渠道C: \( Q_C = 1000 \times (1 + 1.2 \times \frac{X_C}{100,000}) \) 4. **各渠道的总转化利润**： - 渠道A: \( P_A = Q_A \times 80 \) - 渠道B: \( P_B = Q_B \times 120 \) - 渠道C: \( P_C = Q_C \times 200 \) 5. **总消耗**： - 渠道A: \( C_A = X_A \) - 渠道B: \( C_B = X_B \) - 渠道C: \( C_C = X_C \) 6. **总利润公式**： \[ \text{总利润} = (P_A + P_B + P_C) - (C_A + C_B + C_C) \] ### 步骤2：用数学规划求解 我们需要最大化如下目标函数： \[ \text{总利润} = (Q_A \times 80 + Q_B \times 120 + Q_C \times 200) - (X_A + X_B + X_C) \] 通过构建如下约束： 1. \(X_A + X_B + X_C = 100,000\) 2. \(X_A \geq 10,000\) 3. \(X_B \geq 10,000\) 4. \(X_C \geq 10,000\) 我们可以使用线性规划工具(如Python的SciPy库中的`linprog`函数)来求解这个优化问题。 ## 答案验证 1. **验证方法**：通过实施优化工具对得到结果进行验证，检查是否满足约束，并检验总利润最大化。 2. **验证结果**：用数学规划工具获得精确的回答。 根据以上步骤，我们能够解出各渠道的最优预算分配。实际操作中，实施一个线性规划工具来更新具体的分配数据，并进行测试验证会给出准确的预算分配比例。
| 模型名称 | 模型提供商 | 响应总时长（s） | 生成 token 数 | 首 token 延迟（s） | 生成速率（tokens/s） |
|---|---|---|---|---|---|
|
312.06
|
1413
|
1.21
|
4.53
|
||
|
57.43
|
2098
内容最多
|
0.5
延迟最小
|
36.53
|
||
|
15.41
响应最快
|
785
|
1.27
|
50.93
速度最快
|
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