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为了求解一次函数 \( y = 2x + 1 \) 与反比例函数 \( y = \frac{6}{x} \) 的交点 A、B 的坐标，我们需要找到这两个函数的交点，即求解它们的方程组。 ### Step 1: 问题分析 - 问题类型：求解两个函数的交点 - 已知条件：一次函数 \( y = 2x + 1 \) 和反比例函数 \( y = \frac{6}{x} \) - 求解目标：交点 A、B 的坐标 ### Step 2: 解题步骤 #### 步骤1：将两个函数的方程联立 \[ y = 2x + 1 \] \[ y = \frac{6}{x} \] #### 步骤2：将 \( y = 2x + 1 \) 代入 \( y = \frac{6}{x} \) \[ 2x + 1 = \frac{6}{x} \] #### 步骤3：消去分母，将方程化为整式方程 \[ x(2x + 1) = 6 \] \[ 2x^2 + x = 6 \] \[ 2x^2 + x - 6 = 0 \] #### 步骤4：解一元二次方程 \( 2x^2 + x - 6 = 0 \) 使用求根公式 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，其中 \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -6 \) \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm 7}{4} \] 这 gives us two solutions for \( x \): \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] \[ x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] #### 步骤5：将 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 代入 \( y = 2x + 1 \) 求 \( y \) For \( x_1 = \frac{3}{2} \): \[ y_1 = 2 \left( \frac{3}{2} \right) + 1 = 3 + 1 = 4 \] For \( x_2 = -2 \): \[ y_2 = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 \] ### Step 3: 答案验证 The coordinates of the intersection points are: \[ A \left( \frac{3}{2}, 4 \right) \] \[ B \left( -2, -3 \right) \] ### Step 4: 其他解法 There are no other methods to solve this problem that are significantly different from the one presented. ### Final Answer The coordinates of the intersection points A and B are: \[ \boxed{\left( \frac{3}{2}, 4 \right) \text{ and } \left( -2, -3 \right)} \]
为了生成这类题目的解题过程，我们需要从数学的角度分析问题并进行求解。我们将根据您的描述执行以下工作流程： ## 1. 问题分析 - **问题类型**: 找到两个函数的交点。 - **已知条件**: - 一次函数 \(y = 2x + 1\) - 反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) - **求解目标**: 求交点 A、B 的坐标。 ## 2. 解题步骤 ### 步骤1：设交点 交点是两个函数的值相等的点，因此我们可以设两个函数的值相等，求解方程。 - **数学原理**: 交点满足 \(y\) 值相等，即 \(2x + 1 = \frac{6}{x}\) - **推导过程**: 设交点的 \(x\) 值为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，则 \[ 2x + 1 = \frac{6}{x} \] ### 步骤2：去分母并整理方程 为了将方程整理成标准形式，我们将分母消去。 - **数学原理**: 乘以 \(x\) \( (x \neq 0) \) 消去分母。 - **推导过程**: \[ x(2x + 1) = 6 \] \[ 2x^2 + x - 6 = 0 \] ### 步骤3：求解二次方程 利用二次方程求解公式求解 \(x\)。 - **数学原理**: 二次方程求解公式 \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) - **推导过程**: \[ a = 2, \quad b = 1, \quad c = -6 \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm 7}{4} \] ### 步骤4：计算交点坐标 计算得到的 \(x\) 值对应的 \(y\) 值。 - **数学原理**: 代入任一函数求得 \(y\) 值。 - **推导过程**: - 当 \(x = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)，代入 \(y = 2x + 1\): \[ y = 2 \times \frac{3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4 \] 所以交点 A 为 \(\left(\frac{3}{2}, 4\right)\)。 - 当 \(x = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)，代入 \(y = 2x + 1\): \[ y = 2 \times (-2) + 1 = -4 + 1 = -3 \] 所以交点 B 为 \((-2, -3)\). ## 3. 答案验证 - **验证方法**: 将两个交点的 \(x\) 值分别代入反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) 来验证。 - **验证结果**: - 当 \(x = \frac{3}{2}\), \(y = \frac{6}{\frac{3}{2}} = 4\), 与一次函数结果一致。 - 当 \(x = -2\), \(y = \frac{6}{-2} = -3\), 与一次函数结果一致。 ## 4. 其他解法 - **解法1**: 可以使用图像法，直接画出两个函数的图像，观察求点。 - **解法2**: 可使用计算机或计算器工具求二次方程根。 综上，我们得出一次函数与反比例函数所交的两个交点坐标为 \(A\left(\frac{3}{2}, 4\right)\) 和 \(B(-2, -3)\)。
### 解题过程：交点问题 **题目**：一次函数 \(y = 2x + 1\) 与反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) 交于 A、B 两点，求 A、B 坐标。 #### 1. 问题分析 - **问题类型**：求解两个函数的交点。 - **已知条件**： - 一次函数：\(y = 2x + 1\) - 反比例函数：\(y = \frac{6}{x}\) - **求解目标**：找到交点 A 和 B 的坐标。 #### 2. 解题步骤 - **步骤1**：设置方程 - 将两个函数的表达式相等： \[ 2x + 1 = \frac{6}{x} \] - **步骤2**：消去分母 - 乘以 \(x\)（假设 \(x \neq 0\)）： \[ 2x^2 + x = 6 \] - **步骤3**：整理方程 - 将方程整理为标准形式： \[ 2x^2 + x - 6 = 0 \] - **步骤4**：使用求根公式解方程 - 设 \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -6\)。 - 使用求根公式： \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] - 计算判别式： \[ b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \] - 计算根： \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 7}{4} \] - 得到两个解： \[ x_1 = \frac{6}{4} = 1.5, \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \] - **步骤5**：求出对应的 \(y\) 值 - 对于 \(x_1 = 1.5\)： \[ y_1 = 2(1.5) + 1 = 3 + 1 = 4 \] - 对于 \(x_2 = -2\)： \[ y_2 = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 \] #### 3. 答案验证 - **验证方法**：将求得的交点代入原函数验证。 - 对于点 A (1.5, 4)： - 一次函数：\(y = 2(1.5) + 1 = 4\) - 反比例函数：\(y = \frac{6}{1.5} = 4\) - 对于点 B (-2, -3)： - 一次函数：\(y = 2(-2) + 1 = -3\) - 反比例函数：\(y = \frac{6}{-2} = -3\) - **验证结果**：两点均满足两个函数的方程。 #### 4. 其他解法 - **解法1**：图形法，通过图像绘制来直观求交点。 - **解法2**：数值法，使用数值计算工具求解交点。 ### 最终答案 交点 A 的坐标为 \((1.5, 4)\)，交点 B 的坐标为 \((-2, -3)\)。
### 解题过程：求一次函数 $y = 2x + 1$ 与反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的交点坐标 --- #### **问题分析** - **问题类型**：求解两个函数的交点坐标 - **已知条件**： - 一次函数表达式：$y = 2x + 1$ - 反比例函数表达式：$y = \frac{6}{x}$ - **求解目标**：找到满足两个方程的 $x$ 和 $y$，即交点 $A$ 和 $B$ 的坐标 --- #### **解题步骤** ##### **步骤1：联立方程求解** **数学原理**：交点的坐标需同时满足两个方程，因此联立方程组： $$ \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = \dfrac{6}{x} \end{cases} $$ 由于两式右侧均为 $y$，可等价替换为： $$ 2x + 1 = \dfrac{6}{x} $$ **推导过程**： 1. 消分母：方程两边乘以 $x$（注意 $x \neq 0$）： $$ x(2x + 1) = 6 $$ 2. 展开并整理为二次方程： $$ 2x^2 + x - 6 = 0 $$ 3. 因式分解： $$ (2x - 3)(x + 2) = 0 $$ 解得： $$ x_1 = \dfrac{3}{2}, \quad x_2 = -2 $$ --- ##### **步骤2：求对应的 $y$ 值** **数学原理**：将 $x$ 的解代入任意原方程求 $y$，这里选用一次函数 $y = 2x + 1$。 **推导过程**： 1. 当 $x = \dfrac{3}{2}$ 时： $$ y = 2 \cdot \dfrac{3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4 $$ 对应点为 $\left( \dfrac{3}{2}, 4 \right)$。 2. 当 $x = -2$ 时： $$ y = 2 \cdot (-2) + 1 = -4 + 1 = -3 $$ 对应点为 $(-2, -3)$。 --- #### **答案验证** - **验证方法**：将解代入反比例函数 $y = \dfrac{6}{x}$，检查是否满足。 - 对 $\left( \dfrac{3}{2}, 4 \right)$： $$ y = \dfrac{6}{\frac{3}{2}} = 4 \quad \text{✓} $$ - 对 $(-2, -3)$： $$ y = \dfrac{6}{-2} = -3 \quad \text{✓} $$ --- #### **其他解法** ##### **解法1：二次方程求根公式** 对 $2x^2 + x - 6 = 0$，使用公式： $$ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ 其中 $a = 2$, $b = 1$, $c = -6$，代入得： $$ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-1 \pm 7}{4} $$ 解得： $$ x_1 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}, \quad x_2 = \dfrac{-8}{4} = -2 $$ ##### **解法2：图像法** 绘制两个函数的图像： - 一次函数 $y = 2x + 1$ 是一条斜率为 2、截距为 1 的直线。 - 反比例函数 $y = \dfrac{6}{x}$ 是分布在第一、三象限的双曲线。 两图像的交点即为所求坐标 $\left( \dfrac{3}{2}, 4 \right)$ 和 $(-2, -3)$。 --- ### **最终答案** 交点坐标为： $$ A\left( \dfrac{3}{2}, 4 \right), \quad B(-2, -3) $$
| 模型名称 | 模型提供商 | 响应总时长（s） | 生成 token 数 | 首 token 延迟（s） | 生成速率（tokens/s） |
|---|---|---|---|---|---|
|
22.06
|
795
|
0.48
延迟最小
|
36.03
|
||
|
18.73
响应最快
|
1041
|
2.38
|
55.59
速度最快
|
||
|
18.75
|
0
|
2.57
|
0
|
||
|
46.1
|
1166
内容最多
|
1.19
|
25.3
|
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