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为了求解用一根 24 米长的绳子围成的长方形中，长和宽都是整数时面积最大的情况，我们可以按照以下步骤进行： 1. **确定长方形的周长**: 长方形的周长 \(C\) 为 24 米，根据周长公式 \(C = 2 \times (\text{长} + \text{宽})\)，我们有: \[ 2 \times (\text{长} + \text{宽}) = 24 \] 简化得到: \[ \text{长} + \text{宽} = 12 \] 2. **表达宽**: 用 \(L\) 表示长，用 \(W\) 表示宽，那么: \[ W = 12 - L \] 3. **表达面积**: 长方形的面积 \(A\) 为: \[ A = L \times W = L \times (12 - L) = 12L - L^2 \] 4. **求面积的最大值**: 面积 \(A\) 是关于 \(L\) 的二次函数，其开口向下（因为 \(L^2\) 的系数为负），最大值在顶点处取得。二次函数 \(A = -L^2 + 12L\) 的顶点 \(L\) 坐标为: \[ L = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-1)} = 6 \] 所以，当 \(L = 6\) 时， \(W = 12 - 6 = 6\)，面积 \(A\) 最大。 5. **计算最大面积**: \[ A = 6 \times 6 = 36 \] 因此，用一根 24 米长的绳子围成的长方形中，长和宽都是整数时，面积最大是 \(\boxed{36}\) 平方米。
# 问题分析 1. **问题类型**: 这是一个结合“数与代数”和“图形与几何”的问题，涉及到长方形的周长与面积。 2. **已知条件**: - 绳子的周长为 24 米，因此长方形的周长也为 24 米。 - 长和宽都是整数。 3. **求解目标**: 找到使面积最大的长和宽。 # 解题步骤 ## 步骤1：确定长方形的周长公式 - 数学原理：长方形的周长公式是 \( P = 2 \times (L + W) \)，其中 \( L \) 和 \( W \) 分别代表长和宽。 - 推导过程：根据题目，绳子的周长为 24 米，所以我们有 \( 2 \times (L + W) = 24 \)。 \[ L + W = 12 \] ## 步骤2：确定面积公式并求最大面积 - 数学原理：长方形的面积公式是 \( A = L \times W \)。 - 推导过程：为了使面积最大，我们需要在 \( L + W = 12 \) 的条件下，找出整数 \( L \) 和 \( W \)，使 \( A = L \times W \) 达到最大值。 我们可以列出所有可能的整数对： \[ \begin{align*} L = 1, & \quad W = 11, \quad A = 1 \times 11 = 11 \\ L = 2, & \quad W = 10, \quad A = 2 \times 10 = 20 \\ L = 3, & \quad W = 9, \quad A = 3 \times 9 = 27 \\ L = 4, & \quad W = 8, \quad A = 4 \times 8 = 32 \\ L = 5, & \quad W = 7, \quad A = 5 \times 7 = 35 \\ L = 6, & \quad W = 6, \quad A = 6 \times 6 = 36 \\ \end{align*} \] ## 验证解的正确性 - 验证方法：通过列举的所有情况，我们发现当 \( L = 6 \) 和 \( W = 6 \) 时，面积达到最大值。 - 验证结果：面积最大为 36 平方米。 ## 其他解法 - 解法1：可以通过变量替换，设 \( L = x \)，则 \( W = 12 - x \)，面积 \( A = x \times (12 - x) \)。通过查找使得这个二次函数最大值的整数 \( x \)，可以得出类似结论。 最终得出的最大面积为 36 平方米。通过此过程，学生不仅能解决问题，还能进一步理解周长与面积的关系，以及尝试不同的方法验证结果。
### 问题分析 1. **问题类型**: 优化问题，要求在给定条件下（周长固定）寻找面积的最大值。 2. **已知条件**: - 周长 \( P = 24 \) 米 - 长方形的长和宽均为整数 3. **求解目标**: 找到长方形的长和宽，使得其面积最大。 ### 解题步骤 #### 步骤1: 确定长方形的长和宽的关系 - 根据周长公式，长方形的周长 \( P = 2 \times (长 + 宽) \)。 - 代入已知条件： \[ 24 = 2 \times (长 + 宽) \] \[ 长 + 宽 = 12 \] - 设长为 \( l \)，宽为 \( w \)，则有 \( l + w = 12 \)。 #### 步骤2: 表达面积 - 长方形的面积 \( A = 长 \times 宽 = l \times w \)。 - 根据 \( w = 12 - l \)，将面积表达为： \[ A = l \times (12 - l) = 12l - l^2 \] #### 步骤3: 寻找最大面积 - 该表达式是一个关于 \( l \) 的二次函数，开口向下，最大值出现在顶点。 - 顶点公式 \( l = -\frac{b}{2a} \)： - 这里 \( a = -1 \)，\( b = 12 \)，因此： \[ l = -\frac{12}{2 \times -1} = 6 \] - 代入 \( l = 6 \) 计算 \( w \)： \[ w = 12 - l = 12 - 6 = 6 \] #### 步骤4: 计算最大面积 - 最大面积 \( A \) 为： \[ A = l \times w = 6 \times 6 = 36 \text{ 平方米} \] ### 答案验证 - 验证周长： \[ P = 2 \times (6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \text{ 米} \] - 验证面积： \[ A = 6 \times 6 = 36 \text{ 平方米} \] - 结果符合条件，验证通过。 ### 其他解法 - **解法1**: 通过枚举法，列出所有可能的长和宽组合（如 \( (1, 11), (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6) \)），计算每种组合的面积，发现最大面积为 36 平方米。 - **解法2**: 使用图形法，绘制长方形的长宽关系图，观察面积随长宽变化的趋势，确认最大值出现在 \( l = w = 6 \) 时。 ### 结论 - 在周长为 24 米的条件下，长方形的长和宽均为 6 米时，面积最大，为 36 平方米。
### 问题分析 **问题类型**：周长与面积的最优化问题（整数条件下） **已知条件**： - 绳子总长（周长）24米 → 长方形周长为24米 - 长和宽均为整数 **求解目标**：长和宽为整数时长方形的最大面积 --- ### 解题步骤 #### **步骤1：建立数学模型** 1. **周长公式**：长方形周长 = 2 × (长 + 宽) 已知周长为24米 → 2 × (长 + 宽) = 24 → **长 + 宽 = 12** 2. **面积公式**：面积 = 长 × 宽 **目标**：在长、宽为整数且满足长 + 宽 = 12的条件下，求长 × 宽的最大值。 --- #### **步骤2：列举所有可能的整数组合** 由于长和宽均为正整数，且长 ≥ 宽（避免重复），可能的组合如下： | 宽（米） | 长（米） | 面积（平方米） | |---------|---------|---------------| | 1 | 11 | 1×11=11 | | 2 | 10 | 2×10=20 | | 3 | 9 | 3×9=27 | | 4 | 8 | 4×8=32 | | 5 | 7 | 5×7=35 | | 6 | 6 | 6×6=36 | --- #### **步骤3：比较面积，得出最大值** 通过表格可知，当长和宽均为6米（即正方形）时，面积最大为**36平方米**。 --- ### 答案验证 **验证方法**：反向代入 - 若长和宽均为6米，则周长 = 2×(6+6) = 24米，符合条件。 - 面积 = 6×6 = 36平方米，与表格结果一致。 **验证结果**：答案正确。 --- ### 其他解法 #### **解法1：利用对称性推理** - **数学原理**：当周长固定时，图形越接近正方形，面积越大。 - **推导过程**： 1. 长 + 宽 = 12 → 若长和宽相等（即正方形），则边长为6米。 2. 此时面积为6×6=36平方米。 3. 若长和宽不等（如7米和5米），面积减少为35平方米。 **结论**：正方形是面积最大的情况。 --- #### **解法2：代数法（适合高年级）** - **数学原理**：二次函数极值问题。 - **推导过程**： 1. 设宽为x米 → 长为(12 - x)米。 2. 面积S = x × (12 - x) = -x² + 12x。 3. 二次函数顶点公式：x = -b/(2a) = -12/(2×-1) = 6。 4. 当x=6时，S最大值为6×6=36平方米。 --- ### 总结规律 **核心规律**： - 周长一定的长方形中，正方形的面积最大。 - **举一反三**： 若用30米绳子围长方形，长和宽为整数时，最大面积为（5×5=25平方米）。
| 模型名称 | 模型提供商 | 响应总时长（s） | 生成 token 数 | 首 token 延迟（s） | 生成速率（tokens/s） |
|---|---|---|---|---|---|
|
13.06
|
467
|
0.41
延迟最小
|
35.75
|
||
|
12.92
响应最快
|
669
|
3.22
|
51.8
速度最快
|
||
|
17.15
|
0
|
2.2
|
0
|
||
|
38.03
|
1004
内容最多
|
1
|
26.4
|
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