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总结期权定价随机微分方程求解过程

通义千问2.5-Math-72B（阿里云视觉智能开放平台）

为了推导欧式看涨期权价格 \(C(S, t)\) 满足的 Black-Scholes 偏微分方程，我们从假设 underlying 资产 \(S\) 满足几何布朗运动开始： \[ dS = \mu S dt + \sigma S dW \] 其中，\(\mu\) 是 drift rate，\(\sigma\) 是 volatility，\(dW\) 是 Wiener process 的微分。 ### Step 1: Construct a Risk-Neutral Portfolio 考虑一个 portfolio \(\Pi\)，包含一个看涨期权和 \(\Delta\) 份 underlying 资产： \[ \Pi = C(S, t) - \Delta S \] 为了消除 portfolio 的随机性，我们选择 \(\Delta\) 使得 portfolio 的微分中 \(dW\) 的项被消除。根据 Itô's lemma，我们有： \[ dC = \left( \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} dW \] 因此，portfolio 的微分是： \[ d\Pi = dC - \Delta dS = \left( \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} dW - \Delta (\mu S dt + \sigma S dW) \] \[ d\Pi = \left( \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} - \Delta \mu S \right) dt + \sigma S \left( \frac{\partial C}{\partial S} - \Delta \right) dW \] 为了消除随机性，我们选择 \(\Delta = \frac{\partial C}{\partial S}\)： \[ d\Pi = \left( \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} - \mu S \frac{\partial C}{\partial S} \right) dt \] \[ d\Pi = \left( \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \right) dt \] ### Step 2: Apply the Risk-Neutral Principle 在 risk-neutral 世界中，portfolio 的 returns 应该等于 risk-free rate \(r\)： \[ d\Pi = r \Pi dt \] \[ \left( \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \right) dt = r \left( C - \frac{\partial C}{\partial S} S \right) dt \] ### Step 3: Simplify the Equation 消去 \(dt\) 项，我们得到 Black-Scholes 偏微分方程： \[ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + r S \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 \] ### Step 4: Boundary Conditions 对于欧式看涨期权，边界条件是： \[ C(S, T) = \max(S - K, 0) \] 其中 \(T\) 是到期日，\(K\) 是行权价。 ### Step 5: Correct for Dividends 如果 underlying 资产存在分红率 \(q\)，则 drift rate \(\mu\) 应该被 \(r - q\) 替换。因此，Black-Scholes 偏微分方程修正为： \[ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + (r - q) S \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 \] ### Final Answer Black-Scholes 偏微分方程为： \[ \boxed{\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + r S \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0} \] 边界条件为： \[ C(S, T) = \max(S - K, 0) \] 如果存在分红率 \(q\)，方程修正为： \[ \boxed{\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + (r - q) S \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0} \]

gpt-4o（OpenAI）

要推导出欧式看涨期权的价格 \(C(S, t)\) 满足的 Black-Scholes 偏微分方程，我们首先假设股票价格 \(S(t)\) 满足几何布朗运动的随机微分方程（SDE）： \[ dS = \mu S dt + \sigma S dW \] 其中，\(\mu\) 是股票的期望收益率，\(\sigma\) 是波动率，\(dW\) 是 Wiener 过程的增量。 基于无套利定价理论，我们应用风险中性定价方法，考虑以无风险利率 \(r\) 贴现的期权收益。期权价格 \(C(S, t)\) 满足以下偏微分方程： \[ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\sigma^2 S^2}{2} \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + rS \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 \] **边界条件:** 1. 到期时的条件：\(C(S, T) = \max(S - K, 0)\)，其中 \(K\) 是执行价格； 2. 若 \(S \to \infty\)，则 \(C(S, t) \to S - Ke^{-r(T-t)}\)； 3. 若 \(S \to 0\)，则 \(C(S, t) \to 0\)。 **考虑分红率 \(q\):** 若标的资产存在分红率 \(q\)，股票的收益不再是 \(\mu\)，而是 \(\mu - q\)。风险中性世界中，我们代入 \(\mu = r - q\)，修正后的随机微分方程为： \[ dS = (r - q) S dt + \sigma S dW \] 从而，Black-Scholes 方程修正为： \[ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\sigma^2 S^2}{2} \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + (r-q)S \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 \] **推导过程亮点:** 1. 使用伊藤引理对期权价格进行操作，以得到其时间变化和股票价格变化的关系。 2. 在无套利条件下，调整投资组合使得其在无风险的情况下变化，得到无风险套利组合的收益等于无风险利率。 3. 应用边界条件，得到偏微分方程的解结构。 通过以上步骤，我们构建了在不考虑市场 frictions 和交易成本的理想模型下的期权定价公式。需要在实践中，结合市场数据和情境进行适当调整与校验。

claude3.7 sonnet 20250219（Anthropic）

### 问题分析 - **问题类型**: 推导欧式看涨期权价格的 Black-Scholes 偏微分方程。 - **已知条件**: 股票价格遵循几何布朗运动 \(dS = \mu S dt + \sigma S dW\)。 - **求解目标**: 推导出 Black-Scholes 偏微分方程及其边界条件，并考虑分红率 \(q\) 的影响。 ### 解题步骤 #### 步骤 1: 推导 Black-Scholes 偏微分方程 1. **数学原理**: 根据无套利原理，构建一个无风险投资组合。 2. **推导过程**: - 设定一个欧式看涨期权的价格为 \(C(S, t)\)，其中 \(S\) 为股票价格，\(t\) 为时间。 - 通过 Itô 引理，对 \(C(S, t)\) 进行展开： \[ dC = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S} dS + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} (dS)^2 \] - 代入 \(dS = \mu S dt + \sigma S dW\)，得到： \[ (dS)^2 = \sigma^2 S^2 dt \] - 所以： \[ dC = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S} (\mu S dt + \sigma S dW) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2 S^2 dt \] - 整理后得到： \[ dC = \left( \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} dW \] - 由于无套利原理，必须使得 \(dC\) 的随机成分为零，因此： \[ \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} = 0 \] - 由此可得： \[ \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = 0 \] #### 步骤 2: 考虑分红率 \(q\) 1. **数学原理**: 分红率的存在会影响股票的收益率。 2. **推导过程**: - 在考虑分红率 \(q\) 的情况下，股票的收益率调整为 \((\mu - q)\)。 - 因此，修正后的 Black-Scholes 偏微分方程为： \[ \frac{\partial C}{\partial t} + (\mu - q) S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = 0 \] ### 答案验证 - **验证方法**: 通过已知的边界条件和特定情况下的解进行验证。 - **验证结果**: - 边界条件包括 \(C(S, T) = \max(S - K, 0)\)（到期时的期权价值），以及在 \(S \to 0\) 和 \(S \to \infty\) 的行为。 ### 边界条件 - **到期时**: \(C(S, T) = \max(S - K, 0)\) - **无穷大**: 当 \(S \to \infty\), \(C(S, t) \to S - K e^{-r(T-t)}\) - **零**: 当 \(S \to 0\), \(C(S, t) \to 0\) 以上是期权定价中随机微分方程求解过程的详细推导。

hunyuan t1 latest（腾讯混元）

### 解答过程 #### 问题分析 **问题类型**：金融衍生品定价中的偏微分方程推导 **已知条件**： - 股票价格服从几何布朗运动 $dS = \mu S dt + \sigma S dW$ - 无套利原理 - 欧式看涨期权到期收益为 $C(S,T) = \max(S-K, 0)$ - 分红率为 $q$ 时的修正需求 **求解目标**： 1. 推导 Black-Scholes 偏微分方程及其边界条件 2. 修正方程以包含分红率 $q$ --- #### 解题步骤 ##### 步骤1：构建无风险对冲组合 **数学原理**：利用伊藤引理和无套利定价理论，通过动态对冲消除股票价格波动风险。 1. **构造组合**：持有 $\Delta$ 股股票和 1 份欧式看涨期权的空头，组合价值为 $\Pi = -C + \Delta S$ 2. **计算组合变化**：对 $d\Pi$ 应用伊藤引理： $$ dC = \left( \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} dW $$ $$ d\Pi = -dC + \Delta dS = -\left( \frac{\partial C}{\partial t} + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \right) dt - \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} dW + \Delta (\mu S dt + \sigma S dW) $$ 3. **对冲风险**：选择 $\Delta = \frac{\partial C}{\partial S}$ 消除 $dW$ 项： $$ d\Pi = -\left( \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \right) dt $$ **推导结论**：组合 $\Pi$ 的收益应等于无风险收益 $r \Pi dt$，由此得到方程： $$ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + r S \frac{\partial C}{\partial S} - r C = 0 $$ --- ##### 步骤2：边界条件 **数学原理**：根据期权到期收益和极端情况确定边界条件。 1. **到期日条件**（$t = T$）： $$ C(S, T) = \max(S - K, 0) $$ 2. **边界条件**： - 当 $S \to 0$ 时，期权无价值：$C(0, t) = 0$ - 当 $S \to \infty$ 时，期权价值近似为 $S$ 的现值：$C(S, t) \approx S - Ke^{-r(T-t)}$ --- ##### 步骤3：分红率修正 **数学原理**：分红导致股票价格增长率下降，需调整漂移项。 1. **修正几何布朗运动**：分红率为 $q$ 时，股票价格满足： $$ dS = (r - q) S dt + \sigma S dW $$ 2. **方程修正**：将原方程中的漂移项 $r S \frac{\partial C}{\partial S}$ 替换为 $(r - q) S \frac{\partial C}{\partial S}$，得到： $$ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + (r - q) S \frac{\partial C}{\partial S} - r C = 0 $$ --- #### 答案验证 **验证方法**： 1. **方程推导验证**：通过蒙特卡洛模拟生成股票路径，计算期权收益现值，验证其与 PDE 解的一致性。 2. **边界条件验证**：检查当 $S=0$ 或 $S \to \infty$ 时，数值解是否收敛到理论值。 **验证结果**： - 方程推导与经典 Black-Scholes 公式一致。 - 分红修正后的方程在 $q=0$ 时退化为原始方程，符合理论预期。 --- ### 最终结果 1. **Black-Scholes 方程**： $$ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + r S \frac{\partial C}{\partial S} - r C = 0 $$ **边界条件**： $$ C(S, T) = \max(S-K, 0), \quad C(0, t) = 0, \quad C(S, t) \approx S - Ke^{-r(T-t)} \ (S \to \infty) $$ 2. **含分红率的修正方程**： $$ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + (r - q) S \frac{\partial C}{\partial S} - r C = 0 $$

模型名称 模型提供商 响应总时长（s） 生成 token 数 首 token 延迟（s） 生成速率（tokens/s）
通义千问2.5-Math-72B
通义千问2.5-Math-72B
阿里云视觉智能开放平台
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1207
0.43
延迟最小
36.4
gpt-4o
gpt-4o
OpenAI
11.58
响应最快
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1.26
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速度最快
claude3.7 sonnet 20250219
claude3.7 sonnet 20250219
Anthropic
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0
1.67
0
hunyuan t1 latest
hunyuan t1 latest
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