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总结二项分布解题过程

通义千问2.5-Math-72B（阿里云视觉智能开放平台）

# 问题分析 - 问题类型：二项分布 - 已知条件：射击命中率 \( p = 0.8 \)，独立射击次数 \( n = 5 \) - 求解目标：恰好命中 3 次的概率；至少命中 4 次的概率 # 解题步骤 ## 步骤1：计算恰好命中 3 次的概率 二项分布的概率公式为： \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] 其中 \( \binom{n}{k} \) 是组合数，表示从 \( n \) 个元素中选择 \( k \) 个元素的组合数。 对于恰好命中 3 次， \( k = 3 \)： \[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.8)^3 (0.2)^2 \] 计算组合数 \( \binom{5}{3} \): \[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 代入概率公式： \[ P(X = 3) = 10 \times (0.8)^3 \times (0.2)^2 = 10 \times 0.512 \times 0.04 = 10 \times 0.02048 = 0.2048 \] ## 步骤2：计算至少命中 4 次的概率 至少命中 4 次的概率包括命中 4 次和命中 5 次的概率之和。 ### 命中 4 次的概率 对于命中 4 次， \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = \binom{5}{4} (0.8)^4 (0.2)^1 \] 计算组合数 \( \binom{5}{4} \): \[ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5 \] 代入概率公式: \[ P(X = 4) = 5 \times (0.8)^4 \times (0.2)^1 = 5 \times 0.4096 \times 0.2 = 5 \times 0.08192 = 0.4096 \] ### 命中 5 次的概率 对于命中 5 次， \( k = 5 \): \[ P(X = 5) = \binom{5}{5} (0.8)^5 (0.2)^0 \] 计算组合数 \( \binom{5}{5} \): \[ \binom{5}{5} = \frac{5!}{5!0!} = 1 \] 代入概率公式: \[ P(X = 5) = 1 \times (0.8)^5 \times (0.2)^0 = 1 \times 0.32768 \times 1 = 0.32768 \] ### 至少命中 4 次的概率 \[ P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728 \] # 答案验证 - 恰好命中 3 次的概率: \( 0.2048 \) - 至少命中 4 次的概率: \( 0.73728 \) # 其他解法 - 可以使用二项分布的 cumulative distribution function (CDF) 来计算至少命中 4 次的概率，即 \( P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3) \)。 # 最终答案 \[ \boxed{0.2048} \] \[ \boxed{0.73728} \]

gpt-4o（OpenAI）

## 问题分析 **问题类型**：这是一个典型的二项分布问题。 **已知条件**： - 射击次数 \(n = 5\) - 每次射击的命中率 \(p = 0.8\) **求解目标**： 1. 恰好命中 3 次的概率 2. 至少命中 4 次的概率 ## 解题步骤 ### 步骤1：计算恰好命中 3 次的概率 **统计学原理**： 二项分布概率质量函数（PMF）用于计算给定成功次数的概率。公式为： \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] **推导过程**： 这里 \(X\) 表示命中的次数，给定条件中我们需要 \(X = 3\) 的概率。 \[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.8)^3 (0.2)^{5-3} \] 计算组合数和概率： \[ \binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 计算概率： \[ P(X = 3) = 10 \times (0.8)^3 \times (0.2)^2 = 10 \times 0.512 \times 0.04 = 0.2048 \] ### 步骤2：计算至少命中 4 次的概率 **统计学原理**： 至少命中 4 次意味着命中次数为 4 次或 5 次。可以分别计算这两种情况，然后求和。 **推导过程**： - 计算命中 4 次的概率： \[ P(X = 4) = \binom{5}{4} (0.8)^4 (0.2)^{5-4} \] 组合数和概率计算： \[ \binom{5}{4} = 5 \] \[ P(X = 4) = 5 \times (0.8)^4 \times 0.2 = 5 \times 0.4096 \times 0.2 = 0.4096 \] - 计算命中 5 次的概率： \[ P(X = 5) = \binom{5}{5} (0.8)^5 (0.2)^{5-5} = 1 \times (0.8)^5 \times 1 = 0.32768 \] - 加起来得到至少命中 4 次的概率： \[ P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728 \] ## 答案验证 **验证方法**： 可以通过统计软件或计算工具验证计算结果。 **验证结果**： 两种概率计算结果是准确的，可以通过 R 或 Python 的统计库来验证二项分布计算。 ## 其他解法 通过统计软件计算： - R 语言中可以使用 `dbinom(3, 5, 0.8)` 和 `dbinom(4, 5, 0.8) + dbinom(5, 5, 0.8)` 来验证计算结果。 - Python 使用 `scipy.stats.binom.pmf(3, 5, 0.8)` 等函数。

claude3.7 sonnet 20250219（Anthropic）

## 问题分析 - **问题类型**: 二项分布概率计算 - **已知条件**: - 射手命中率 \( p = 0.8 \) - 独立射击次数 \( n = 5 \) - **求解目标**: - 恰好命中 3 次的概率 - 至少命中 4 次的概率 ## 解题步骤 ### 步骤1: 计算恰好命中 3 次的概率 - **统计学原理**: 使用二项分布公式 \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] 其中 \( C(n, k) \) 是组合数，表示从 \( n \) 次中选择 \( k \) 次的方式。 - **推导过程**: - 设 \( n = 5 \), \( k = 3 \), \( p = 0.8 \) - 组合数 \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \) - 计算概率: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^{5-3} \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0.512) \cdot (0.04) = 10 \cdot 0.02048 = 0.2048 \] ### 步骤2: 计算至少命中 4 次的概率 - **统计学原理**: 至少命中 4 次的概率可以通过求 \( P(X = 4) + P(X = 5) \) 来计算。 - **推导过程**: 1. 计算 \( P(X = 4) \): \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^{5-4} \] \[ C(5, 4) = 5 \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.4096) \cdot (0.2) = 5 \cdot 0.08192 = 0.4096 \] 2. 计算 \( P(X = 5) \): \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^{5-5} \] \[ C(5, 5) = 1 \] \[ P(X = 5) = 1 \cdot (0.32768) \cdot (1) = 0.32768 \] 3. 计算至少命中 4 次的概率: \[ P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728 \] ## 答案验证 - **验证方法**: 检查计算过程和公式应用的准确性。 - **验证结果**: - 恰好命中 3 次的概率 \( P(X = 3) = 0.2048 \) - 至少命中 4 次的概率 \( P(X \geq 4) = 0.73728 \) ## 其他解法 - 解法1: 使用统计软件（如 R 或 Python）进行模拟实验，验证理论计算的结果。 - 解法2: 使用正态近似法（适用于大样本）进行近似计算。

模型名称 模型提供商 响应总时长（s） 生成 token 数 首 token 延迟（s） 生成速率（tokens/s）
通义千问2.5-Math-72B
通义千问2.5-Math-72B
阿里云视觉智能开放平台
25.14
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内容最多
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gpt-4o
gpt-4o
OpenAI
14.18
响应最快
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速度最快
claude3.7 sonnet 20250219
claude3.7 sonnet 20250219
Anthropic
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