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总结空间几何问题的解题过程

通义千问2.5-Math-72B(阿里云视觉智能开放平台)

### 问题 1: 求侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值 1. **建立坐标系:** - 设正方形 ABCD 的中心 O 为原点 \((0, 0, 0)\)。 - 由于正方形 ABCD 的边长为 2,顶点 A、B、C、D 的坐标分别为: \[ A = (1, -1, 0), \quad B = (1, 1, 0), \quad C = (-1, 1, 0), \quad D = (-1, -1, 0) \] - 设顶点 P 的坐标为 \((0, 0, h)\)。 2. **求高 \(h\):** - 侧棱 PA 的长度为 2,因此: \[ PA = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-0)^2 + (0-h)^2} = 2 \] - 简化得: \[ 1 + 1 + h^2 = 4 \implies h^2 = 2 \implies h = \sqrt{2} \] - 所以,顶点 P 的坐标为 \((0, 0, \sqrt{2})\)。 3. **求侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角:** - 侧棱 PA 的方向向量为: \[ \overrightarrow{PA} = (1, -1, -\sqrt{2}) \] - 底面 ABCD 的法向量为: \[ \overrightarrow{n} = (0, 0, 1) \] - 侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角 \(\theta\) 的正弦值为: \[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}| |\overrightarrow{n}|} = \frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{2})^2} \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] ### 问题 2: 求异面直线 AE 与 DF 所成角的余弦值 1. **求点 E、F 的坐标:** - 点 E 为 PB 的中点,因此: \[ E = \left( \frac{1+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] - 点 F 为 PC 的中点,因此: \[ F = \left( \frac{-1+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+\sqrt{2}}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] 2. **求向量 \(\overrightarrow{AE}\) 和 \(\overrightarrow{DF}\):** - 向量 \(\overrightarrow{AE}\) 为: \[ \overrightarrow{AE} = \left( \frac{1}{2} - 1, \frac{1}{2} + 1, \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] - 向量 \(\overrightarrow{DF}\) 为: \[ \overrightarrow{DF} = \left( -\frac{1}{2} + 1, \frac{1}{2} + 1, \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] 3. **求异面直线 AE 与 DF 所成角 \(\phi\) 的余弦值:** \[ \cos \phi = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{DF}|} = \frac{\left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}{\sqrt{\left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2} \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2}} = \frac{\left( -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{2}{4} \right)}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{2}{4}} \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{2}{4}}} = \frac{\frac{10}{4}}{\sqrt{\frac{12}{4}} \sqrt{\frac{12}{4}}} = \frac{\frac{5}{2}}{3} = \frac{5}{6} \] ### 问题 3: 求该四棱锥的内切球半径 1. **求四棱锥的体积 \(V\):** - 底面积 \(S\) 为: \[ S = 2 \times 2 = 4 \] - 高 \(h\) 为: \[ h = \sqrt{2} \] - 体积 \(V\) 为: \[ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \times 4 \times \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \] 2. **求四棱锥的表面积 \(A\):** - 底面积 \(S\) 为 4。 - 一个侧面的面积为: \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{2} = \sqrt{2} \] - 四个侧面的总面积为: \[ 4 \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \] - 表面积 \(A\) 为: \[ A = 4 + 4\sqrt{2} \] 3. **求内切球半径 \(r\):** \[ r = \frac{3V}{A} = \frac{3 \times \frac{4\sqrt{2}}{3}}{4 + 4\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{4(1 + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} - 2}{-1} = 2 - \sqrt{2} \] ### 最终答案 \[ \boxed{2 - \sqrt{2}} \]

gpt-4o(OpenAI)

对于正四棱锥 \( P-ABCD \),我们进行逐步分析并解决问题。 ### 问题解析阶段 1. **空间几何对象**:正四棱锥、正方形、侧棱、中点、异面直线。 2. **已知条件**: - 底面 \( ABCD \) 为边长为 2 的正方形。 - 顶点 \( P \) 的投影为正方形中心 \( O \)。 ### 方法选择阶段 #### 问题1:侧棱 \( PA \) 与底面 \( ABCD \) 所成角的正弦值 - **使用空间向量法进行计算。** ### 建模求解阶段 1. **坐标系构建**:建立空间直角坐标系,设正方形中心 \( O \) 为原点,边长为 2,底面顶点坐标为: - \( A = (-1, -1, 0) \) - \( B = (1, -1, 0) \) - \( C = (1, 1, 0) \) - \( D = (-1, 1, 0) \) - \( O = (0, 0, 0) \) 2. **设各几何元素坐标**: - **点 \( P \)** 为正四棱锥顶点。设顶点 \( P \) 的高度为 \( h \),则 \( P = (0, 0, h) \)。 #### 侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值 1. 向量 \( \overrightarrow{PA} = (-1, -1, h) \)。 2. 底面法向量 \( \overrightarrow{n} = (0, 0, 1) \)。 3. 向量夹角公式:正弦值为 \(\sin \theta = \frac{|\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{n}|}\)。 4. 计算: \[ \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{n} = h \] \[ |\overrightarrow{PA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + h^2} = \sqrt{2 + h^2} \] \[ |\overrightarrow{n}| = 1 \] \[ \sin \theta = \frac{|h|}{\sqrt{2 + h^2}} \] ### 问题2:异面直线 \( AE \) 与 \( DF \) 所成角的余弦值 - **使用空间向量法进行计算。** 1. **中点计算**: - \( E = \left(\frac{-1 + 1}{2}, \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = (0, -1, \frac{h}{2}) \) - \( F = \left(\frac{1 + (-1)}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = (0, 0, \frac{h}{2})\) 2. 向量 \( \overrightarrow{AE} = (1, 0, \frac{h}{2}) \)。 3. 向量 \( \overrightarrow{DF} = (1, -1, \frac{h}{2})\)。 4. 余弦值公式:\(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{AE}| \cdot |\overrightarrow{DF}|}\)。 5. 计算: \[ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{DF} = 1 \times 1 + 0 \times (-1) + \frac{h}{2} \times \frac{h}{2} = 1 + \frac{h^2}{4} \] \[ |\overrightarrow{AE}| = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{h^2}{4}} \] \[ |\overrightarrow{DF}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{2 + \frac{h^2}{4}} \] \[ \cos \theta = \frac{1 + \frac{h^2}{4}}{\sqrt{1 + \frac{h^2}{4}} \cdot \sqrt{2 + \frac{h^2}{4}}} \] ### 问题3:正四棱锥的内切球半径 - **基于正四棱锥对称特性进行解析**。 考虑内切球的性质,并利用正四棱锥的中心对称性,可以简化为求球与底面以及侧面都能接触。通过几何关系可以导出内切球公式内切球半径为: \[ r = \frac{h}{\sqrt{2}+2} \] ### 结论泛化阶段 我们分析了正四棱锥中的几个几何问题,并运用了空间向量来求解角度问题和球半径问题。通过坐标系构建,向量运算及几何推导,得出侧棱与底面所成角的正弦值、异面直线所成角的余弦值,以及内切球半径的表达式。这一过程展现了空间几何分析的严谨性和有效性,如有任何不明确之处或需要进一步解释,欢迎继续讨论。

claude3.7 sonnet 20250219(Anthropic)

### 解题过程 #### 1. 问题解析阶段 - **空间几何对象**:正四棱锥 P-ABCD - **已知条件**: - 棱长为 2 - 底面 ABCD 为正方形 - 顶点 P 在底面投影为正方形中心 O #### 2. 方法选择阶段 - **坐标系构建**: - 设底面 ABCD 的四个顶点坐标为: - A(1, 1, 0) - B(1, -1, 0) - C(-1, -1, 0) - D(-1, 1, 0) - 顶点 P 的坐标为 O(0, 0, h),其中 h 为 P 的高度。 #### 3. 建模求解阶段 - **计算高度 h**: - 由于 PA 为侧棱,且 PA 垂直于底面 ABCD,利用勾股定理: \[ PA = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-h)^2} = 2 \] \[ \sqrt{2 + h^2} = 2 \implies h^2 = 2 \implies h = \sqrt{2} \] - 所以 P 的坐标为 (0, 0, √2)。 #### 4. 可视化验证阶段 - **求侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值**: - 侧棱 PA 的方向向量为 (0, 0, √2)。 - 底面 ABCD 的法向量为 (0, 0, 1)。 - 由向量的夹角公式,sin(θ) = |a × b| / (|a| |b|): - |PA| = √2 - |ABCD| = 1 - PA 与法向量的叉积为 (0, 0, 0),所以 sin(θ) = 1。 #### 5. 结论泛化阶段 - **求异面直线 AE 与 DF 所成角的余弦值**: - E 为 PB 的中点,F 为 PC 的中点: - E(1, 0, √2/2) - F(-1, 0, √2/2) - 直线 AE 的方向向量为 (-2, 0, 0)。 - 直线 DF 的方向向量为 (0, 2, 0)。 - 余弦值计算: \[ \cos(θ) = \frac{(-2, 0, 0) \cdot (0, 2, 0)}{|(-2, 0, 0)| |(0, 2, 0)|} = 0 \] - **求该四棱锥的内切球半径**: - 内切球半径 r 的公式为: \[ r = \frac{V}{S} \] - 体积 V = 1/3 * 底面积 * 高 = 1/3 * 4 * √2 = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 底面 ABCD 的周长为 8,面积 S = 4。 - 所以: \[ r = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{3} \] ### 最终结果 1. 侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值为 1。 2. 异面直线 AE 与 DF 所成角的余弦值为 0。 3. 四棱锥的内切球半径为 \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)。

模型名称 模型提供商 响应总时长(s) 生成 token 数 首 token 延迟(s) 生成速率(tokens/s)
49.21
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