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总结奥数棋盘覆盖问题解题方法

通义千问2.5-Math-72B(阿里云视觉智能开放平台)

要确定是否可以用 7 块 \(1 \times 2\) 的骨牌完全覆盖剩余的 \(4 \times 4\) 棋盘格子,我们需要考虑以下步骤: 1. **确定初始棋盘的格子数量和颜色:** - 一个 \(4 \times 4\) 的棋盘有 \(16\) 个格子。 - 棋盘上的格子是黑白交替的,因此有 8 个黑色格子和 8 个白色格子。 2. **确定挖去的格子数量和颜色:** - 挖去对角线上的两个格子,由于对角线上的格子颜色相同,因此挖去的两个格子要么都是黑色,要么都是白色。 - 如果挖去两个黑色格子,那么剩余的格子中有 6 个黑色格子和 8 个白色格子。 - 如果挖去两个白色格子,那么剩余的格子中有 8 个黑色格子和 6 个白色格子。 3. **确定 \(1 \times 2\) 骨牌的覆盖能力:** - 每块 \(1 \times 2\) 骨牌可以覆盖一个黑色格子和一个白色格子。 - 因此,7 块 \(1 \times 2\) 骨牌可以覆盖 7 个黑色格子和 7 个白色格子。 4. **比较剩余格子的数量和颜色:** - 如果挖去两个黑色格子,剩余的格子中有 6 个黑色格子和 8 个白色格子,无法用 7 块 \(1 \times 2\) 骨牌完全覆盖。 - 如果挖去两个白色格子,剩余的格子中有 8 个黑色格子和 6 个白色格子,无法用 7 块 \(1 \times 2\) 骨牌完全覆盖。 由于无论挖去的是两个黑色格子还是两个白色格子,剩余的格子都无法被 7 块 \(1 \times 2\) 骨牌完全覆盖,因此答案是: \[ \boxed{\text{否}} \]

gpt-4o(OpenAI)

好的,让我们来分析这个问题并探索解题过程。问题是关于一个4×4棋盘染色和覆盖的问题。这个类型的题目通常涉及到图形的拼接和组合问题。我们将按照以下步骤来解决这个问题: ### 问题分析 1. **问题类型**:这是一个组合排列问题,具体来说,是关于使用1×2的骨牌覆盖棋盘的平面覆盖问题。 2. **已知条件**: - 一个4×4的棋盘已经以黑白交替的方式染色。 - 棋盘的对角线上挖去两个颜色相同的格子。 - 我们希望用7块1×2的骨牌完全覆盖剩余的格子。 3. **求解目标**:验证是否可以用7块1×2的骨牌覆盖剩下的棋盘。 ### 解题步骤 #### 步骤1:黑白染色性质分析 - 一个4×4棋盘通过黑白交替染色会有8个黑格和8个白格。 - 去掉对角线的两个颜色相同的格子后,假设它们是黑色的,那么剩下的棋盘上有6个黑色格子和8个白色格子。 #### 步骤2:覆盖性分析 - 每一个1×2的骨牌必定覆盖一个黑色格和一个白色格。 - 用7块骨牌来覆盖意味着覆盖14个格子,其中7个是黑的,7个是白的。 #### 推导:覆盖不可能性 - 在剩余的棋盘上,我们有6个黑色格子和8个白色格子。 - 由于需要覆盖的是7对颜色相异的格子,但实际上只能构成6对颜色相异的格子(因为只有6个黑色格可用),因此我们无法用7块骨牌完成覆盖。 ### 答案验证 - **验证方法**:通过计算黑白格子的配对情况来验证。 - **验证结果**:我们得出结论,无法用7块1×2的骨牌完全覆盖剩下的格子,因为黑白格子数量不匹配。 ### 其他解法 - **解法1**:通过尝试构建其他覆盖方式,零零散散地移动骨牌来验证配对是否可能,确认无法让骨牌完整覆盖。 - **解法2**:利用图论中的“二部图完美匹配”理论来验证,因为染色后的棋盘可以看成一个二部图,除去两个相同色格子后,图不再能形成完美匹配。 总结:该问题体现了一个有趣的组合覆盖思维,核心在于格子的颜色配对无法满足骨牌的覆盖需要,从而形成解空间的分析与数学推理的结合。结合图论的知识,可以更深刻理解问题的本质,提升问题分析能力和抽象逻辑思维。

claude3.7 sonnet 20250219(Anthropic)

### 问题分析 - **问题类型**:覆盖问题 - **已知条件**:4×4的棋盘黑白交替染色,随机挖去对角线的两个格子(颜色相同)。 - **求解目标**:判断是否能用7块1×2的骨牌完全覆盖剩余格子。 ### 解题步骤 - **步骤1**:分析棋盘的颜色分布 - 4×4的棋盘黑白交替染色,颜色分布如下: ``` B W B W W B W B B W B W W B W B ``` - 每行和每列都有相同数量的黑色和白色格子。总共有8个黑色格子和8个白色格子。 - **步骤2**:挖去对角线的两个格子 - 假设挖去的两个格子是(1,1)和(4,4),都是黑色格子。 - 剩余格子的颜色分布如下: ``` B W B W W B W B B W B W W B W _ ``` - 现在,棋盘上剩余的格子为14个,其中黑色格子有6个,白色格子有8个。 ### 答案验证 - 验证方法:使用1×2的骨牌覆盖格子时,每块骨牌必须覆盖一个黑色和一个白色格子。 - 验证结果:由于剩余的黑色格子数量(6个)和白色格子数量(8个)不相等,无法用7块1×2的骨牌完全覆盖剩余格子。 ### 其他解法 - **解法1**:考虑不同的挖去组合,发现无论挖去哪两个同色格子,剩余的黑白格子数量差异始终存在,因此无法完全覆盖。 - **解法2**:运用图论中的匹配理论,证明在每次挖去两个同色格子后,黑白格子的数量不平衡,导致无法实现完美覆盖。

模型名称 模型提供商 响应总时长(s) 生成 token 数 首 token 延迟(s) 生成速率(tokens/s)
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