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求解二次函数解析式

通义千问2.5-Math-72B(阿里云视觉智能开放平台)

为了求出二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的解析式,我们利用已知条件:图像经过点 \( (1, 0) \)、\( (0, -3) \),且对称轴为直线 \( x = 2 \)。我们分以下步骤进行求解: 1. **利用对称轴公式确定 \( a \) 和 \( b \) 的关系:** 二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的对称轴为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。已知对称轴为 \( x = 2 \),所以有: \[ -\frac{b}{2a} = 2 \implies b = -4a \] 2. **利用点 \( (1, 0) \) 满足二次函数的解析式:** 将 \( x = 1 \) 和 \( y = 0 \) 代入 \( y = ax^2 + bx + c \),得: \[ a(1)^2 + b(1) + c = 0 \implies a + b + c = 0 \] 将 \( b = -4a \) 代入上式,得: \[ a - 4a + c = 0 \implies -3a + c = 0 \implies c = 3a \] 3. **利用点 \( (0, -3) \) 满足二次函数的解析式:** 将 \( x = 0 \) 和 \( y = -3 \) 代入 \( y = ax^2 + bx + c \),得: \[ a(0)^2 + b(0) + c = -3 \implies c = -3 \] 将 \( c = 3a \) 代入上式,得: \[ 3a = -3 \implies a = -1 \] 4. **求出 \( b \) 和 \( c \) 的值:** 将 \( a = -1 \) 代入 \( b = -4a \),得: \[ b = -4(-1) = 4 \] 将 \( a = -1 \) 代入 \( c = 3a \),得: \[ c = 3(-1) = -3 \] 5. **写出二次函数的解析式:** 将 \( a = -1 \)、\( b = 4 \)、\( c = -3 \) 代入 \( y = ax^2 + bx + c \),得: \[ y = -x^2 + 4x - 3 \] 因此,该二次函数的解析式为 \(\boxed{y = -x^2 + 4x - 3}\)。

gpt-4o(OpenAI)

我们需要求出二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的系数 \( a \)、\( b \) 和 \( c \)。根据题目给出的条件,我们可以进行如下分析和求解: ## 问题分析 1. **问题类型**:这是一个确定二次函数解析式的问题。 2. **已知条件**: - 函数经过点 \( (1, 0) \) 和 \( (0, -3) \)。 - 对称轴为 \( x = 2 \)。 3. **求解目标**:确定函数的系数 \( a \)、\( b \) 和 \( c \)。 ## 解题步骤 ### 步骤1:利用已知点代入方程 - 代入点 \( (1, 0) \): \[ a(1)^2 + b(1) + c = 0 \Rightarrow a + b + c = 0 \] - 代入点 \( (0, -3) \): \[ a(0)^2 + b(0) + c = -3 \Rightarrow c = -3 \] ### 步骤2:利用对称轴的性质 对称轴的方程为 \( x = 2 \),对于二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \),对称轴公式为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。因此我们有: \[ -\frac{b}{2a} = 2 \Rightarrow b = -4a \] ### 步骤3:将已知条件代入联立方程进行求解 从步骤1和步骤2我们有: 1. \( a + b + c = 0 \) 2. \( c = -3 \) 3. \( b = -4a \) 代入 \( c = -3 \) 和 \( b = -4a \) 到第一个方程中: \[ a - 4a - 3 = 0 \Rightarrow -3a = 3 \Rightarrow a = -1 \] 用 \( a = -1 \) 代入 \( b = -4a \): \[ b = -4(-1) = 4 \] ### 确定系数 从以上步骤,我们得到 \( a = -1 \)、\( b = 4 \)、\( c = -3 \)。 因此,二次函数的解析式为: \[ y = -x^2 + 4x - 3 \] ## 答案验证 我们可以通过将点 \( (1, 0) \) 和 \( (0, -3) \) 代入解析式进行验证: - 对于 \( (1, 0) \),代入得到: \( -1(1)^2 + 4(1) - 3 = 0 \),验证成立。 - 对于 \( (0, -3) \),代入得到: \( -1(0)^2 + 4(0) - 3 = -3 \),验证成立。 对称轴是否成立, \( x = 2 \): \[ -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] 验证成立。 ## 结果 解析式为 \( y = -x^2 + 4x - 3 \)。

claude3.7 sonnet 20250219(Anthropic)

### 问题分析 - **问题类型**: 二次函数解析式求解 - **已知条件**: - 图像经过点 \( (1, 0) \) - 图像经过点 \( (0, -3) \) - 对称轴为直线 \( x = 2 \) - **求解目标**: 求二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的解析式 ### 解题步骤 #### 步骤1: 确定对称轴和顶点 - 对称轴 \( x = 2 \) 表示顶点的横坐标为 2。 - 设顶点为 \( (2, k) \),则可以将二次函数写为: \[ y = a(x - 2)^2 + k \] #### 步骤2: 利用已知点求解 1. **代入点 \( (0, -3) \)**: \[ -3 = a(0 - 2)^2 + k \implies -3 = 4a + k \quad (1) \] 2. **代入点 \( (1, 0) \)**: \[ 0 = a(1 - 2)^2 + k \implies 0 = a + k \quad (2) \] #### 步骤3: 联立方程求解 \( a \) 和 \( k \) - 从方程 (2) 得到 \( k = -a \)。 - 将 \( k \) 代入方程 (1): \[ -3 = 4a - a \implies -3 = 3a \implies a = -1 \] - 代入 \( a \) 求 \( k \): \[ k = -(-1) = 1 \] #### 步骤4: 得到二次函数解析式 - 将 \( a \) 和 \( k \) 代入顶点形式: \[ y = -1(x - 2)^2 + 1 \] - 展开得到标准形式: \[ y = -1(x^2 - 4x + 4) + 1 = -x^2 + 4x - 4 + 1 = -x^2 + 4x - 3 \] ### 答案验证 - **验证方法**: 将 \( (1, 0) \) 和 \( (0, -3) \) 代入解析式检查。 1. 代入 \( (1, 0) \): \[ y = -1^2 + 4 \cdot 1 - 3 = -1 + 4 - 3 = 0 \quad \text{(正确)} \] 2. 代入 \( (0, -3) \): \[ y = -0^2 + 4 \cdot 0 - 3 = -3 \quad \text{(正确)} \] ### 其他解法 - **解法1**: 通过求导找到极值点,然后利用已知点求解。 - **解法2**: 使用标准形式 \( y = ax^2 + bx + c \) 直接代入已知点求解 \( a, b, c \)。 ### 最终结果 二次函数的解析式为: \[ y = -x^2 + 4x - 3 \]

模型名称 模型提供商 响应总时长(s) 生成 token 数 首 token 延迟(s) 生成速率(tokens/s)
18.31
657
0.46
延迟最小
35.89
13.92
响应最快
751
内容最多
2.35
53.94
速度最快
24.77
0
2.7
0
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