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为了求解平均成本最低时的产量 \( x \)，我们首先需要确定平均成本函数。平均成本函数 \( A(x) \) 是总成本函数 \( C(x) \) 除以产量 \( x \)。给定的总成本函数为： \[ C(x) = 0.5x^2 + 10x + 500 \] 因此，平均成本函数 \( A(x) \) 为： \[ A(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{0.5x^2 + 10x + 500}{x} = 0.5x + 10 + \frac{500}{x} \] 为了找到平均成本的最小值，我们需要求 \( A(x) \) 的导数，并令其等于零。 \( A(x) \) 的导数为： \[ A'(x) = 0.5 - \frac{500}{x^2} \] 令 \( A'(x) = 0 \)，我们得到： \[ 0.5 - \frac{500}{x^2} = 0 \] \[ 0.5 = \frac{500}{x^2} \] \[ x^2 = 1000 \] \[ x = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10} \] 为了确认这个 \( x \) 值给出的是最小值，我们可以使用二阶导数测试。 \( A(x) \) 的二阶导数为： \[ A''(x) = \frac{d}{dx} \left( 0.5 - \frac{500}{x^2} \right) = \frac{1000}{x^3} \] 由于 \( A''(x) > 0 \) 对于 \( x > 0 \)，函数 \( A(x) \) 在 \( x = 10\sqrt{10} \) 处有一个局部最小值。 因此，平均成本最低时的产量 \( x \) 为： \[ \boxed{10\sqrt{10}} \]
这类问题是典型的优化问题，我们需要找到生产某种产品的最低平均成本，对应于该工厂产量的极值。因此，以下是求解步骤： ### 问题分析 - **问题类型**: 极值求解（最优化问题） - **已知条件**: 成本函数 \(C(x) = 0.5x^2 + 10x + 500\) - **求解目标**: 找到平均成本最低时的产量 \(x\) ### 解题步骤 #### 步骤1：定义平均成本函数 - **微积分原理**: 平均成本为总成本除以产量，即 \( \text{AC}(x) = \frac{C(x)}{x} \) - **推导过程**: \[ \text{AC}(x) = \frac{0.5x^2 + 10x + 500}{x} = 0.5x + 10 + \frac{500}{x} \] #### 步骤2：求导并求极值 - **微积分原理**: 通过求导找极值。在统一定义域内，设 \(\text{AC}'(x) = 0\)。 - **推导过程**: \[ \text{AC}'(x) = \frac{d}{dx}\left(0.5x + 10 + \frac{500}{x}\right) = 0.5 - \frac{500}{x^2} \] 令 \(\text{AC}'(x) = 0\)，解得： \[ 0.5 - \frac{500}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{500}{x^2} = 0.5 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1000 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10} \] #### 步骤3：验证极值点 - **验证方法**: 检查导数符号变化或二阶导数 - **验证过程**: - 检查\(\text{AC}''(x)\): \[ \text{AC}''(x) = \frac{d}{dx}\left(0.5 - \frac{500}{x^2}\right) = \frac{1000}{x^3} \] - 当 \(x > 0\)，\(\text{AC}''(x) > 0\)，表明此极值点为局部极小值。 ### 答案验证 - **验证结果**: 对于真实问题，下面是平均成本的极小值。检测过程清晰无误。 ### 其他解法 - **数值解法**: 可以通过构建表格或使用软件（如 MATLAB 或 Python）进行数值模拟和验证。 - **几何直观**: 绘制 \(\text{AC}(x)\) 函数图，观察曲线极值点。 在实际运用中，建议通过绘图直观、更深层次理解问题及解法合理性。
### 问题分析 - **问题类型**: 最优化问题（极值求解） - **已知条件**: 成本函数 \(C(x) = 0.5x^2 + 10x + 500\) - **求解目标**: 求平均成本最低时的产量 \(x\) ### 解题步骤 #### 步骤1: 确定平均成本函数 - **微积分原理**: 平均成本函数是总成本函数 \(C(x)\) 除以产量 \(x\)。 - **推导过程**: \[ AC(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{0.5x^2 + 10x + 500}{x} = 0.5x + 10 + \frac{500}{x} \] #### 步骤2: 求导并找到极值 - **微积分原理**: 通过求导找到平均成本函数的极值点。 - **推导过程**: \[ AC'(x) = 0.5 - \frac{500}{x^2} \] 设 \(AC'(x) = 0\): \[ 0.5 - \frac{500}{x^2} = 0 \implies \frac{500}{x^2} = 0.5 \implies x^2 = 1000 \implies x = 10\sqrt{10} \] #### 步骤3: 验证极值 - **验证方法**: 通过二阶导数判断极值性质。 - **推导过程**: \[ AC''(x) = \frac{1000}{x^3} \] 因为 \(AC''(x) > 0\) 对于 \(x > 0\)，所以 \(x = 10\sqrt{10}\) 是一个极小值点。 ### 答案验证 - **验证结果**: 平均成本在 \(x = 10\sqrt{10}\) 时达到最小值。 ### 其他解法 - **解法1**: 使用数值模拟方法，计算不同产量下的平均成本，找到最低点。 - **解法2**: 通过图形化方法绘制平均成本函数图像，直观寻找极小值点。 ### 结论 在给定的成本函数下，平均成本最低时的产量为 \(x = 10\sqrt{10}\) 件。
| 模型名称 | 模型提供商 | 响应总时长（s） | 生成 token 数 | 首 token 延迟（s） | 生成速率（tokens/s） |
|---|---|---|---|---|---|
|
13.21
|
470
|
0.44
延迟最小
|
35.57
|
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9.32
响应最快
|
709
内容最多
|
2.09
|
76.05
速度最快
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||
|
10.47
|
0
|
2.01
|
0
|
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