相似度API使用实践：何时该用归一化？何时用了反而坏事？

在自然语言处理、推荐系统和数据科学中，计算向量相似度是我们最常做的任务之一。无论是比较文档、用户画像还是商品特征，我们都需要一个可靠的相似度指标。然而，一个常见但容易被忽略的操作——向量归一化（Normalization）——会彻底改变相似度的计算结果，用对事半功倍，用错南辕北辙。

今天，我们就通过几个真实的案例和Python代码示例，来彻底讲清楚：什么情况下必须归一化，什么情况下最好保持原样？

一、理解归一化：它究竟改变了什么？

归一化，在这里特指将向量转换为单位向量（模长为1的向量）。这个过程剥离了向量的"长度"，只保留其"方向"。

最常用的相似度是余弦相似度（Cosine Similarity），其公式为：
cosine_sim(A, B) = (A · B) / (||A|| * ||B||)

如果你先将向量A和B归一化为单位向量A’和B’，再计算它们的点积，那么：
A' · B' = cosine_sim(A, B)
此时，点积（Dot Product）就等于余弦相似度。

核心影响：归一化让相似度计算从关注"方向和强度"变成了只关注"纯方向"。

	不归一化	归一化后
关注点	方向 + 强度（总量）	纯方向（比例、形态）
模长作用	是关键因素，模长大的向量占主导	被完全消除，所有向量平等
好比	比较两首歌的绝对音量和音色	只比较两首歌的音色，把音量调成一致

理解了这一点，我们就可以通过案例和代码来看看如何选择了。

二、案例一：何时必须归一化？——关注"形态"而非"总量"

场景：文档相似度计算

假设你有两篇文档：

文档A：一篇长达10000词的深度研究论文，主题是"人工智能"。
文档B：一篇500词的新闻简报，主题也是"人工智能"。

我们用TF-IDF模型将它们转化为向量。

import numpy as np
from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer

# 示例文档
documents = [
    "machine learning deep neural network artificial intelligence",  # 长文档A
    "ai artificial intelligence"  # 短文档B
]

# 计算TF-IDF向量
vectorizer = TfidfVectorizer()
tfidf_matrix = vectorizer.fit_transform(documents)

# 转换为稠密数组以便演示
vectors = tfidf_matrix.toarray()

print("原始TF-IDF向量:")
print("文档A:", vectors[0])
print("文档B:", vectors[1])
print()

# 计算模长
norm_a = np.linalg.norm(vectors[0])
norm_b = np.linalg.norm(vectors[1])
print(f"文档A模长: {norm_a:.4f}")
print(f"文档B模长: {norm_b:.4f}")
print()

# 计算未归一化的余弦相似度
dot_product = np.dot(vectors[0], vectors[1])
cosine_sim_unnormalized = dot_product / (norm_a * norm_b)
print(f"未归一化余弦相似度: {cosine_sim_unnormalized:.4f}")

# 归一化向量
normalized_a = vectors[0] / norm_a
normalized_b = vectors[1] / norm_b

print("\n归一化后的向量:")
print("文档A:", normalized_a)
print("文档B:", normalized_b)
print()

# 计算归一化后的余弦相似度（即点积）
cosine_sim_normalized = np.dot(normalized_a, normalized_b)
print(f"归一化后余弦相似度: {cosine_sim_normalized:.4f}")

# 验证：直接使用余弦相似度公式应与归一化后点积结果一致
cosine_sim_direct = dot_product / (np.linalg.norm(vectors[0]) * np.linalg.norm(vectors[1]))
print(f"直接计算余弦相似度: {cosine_sim_direct:.4f}")

不归一化的问题：
长文档A的向量模长（A）会远大于短文档B的模长（B）。即使两篇文章主题高度相关，由于分母A|| * ||B巨大，计算出的余弦相似度值也会被拉低。这显然不合理——我们不能因为一篇文章写得长，就说它和短文不相似。
归一化的效果：
归一化将两个向量的模长统一为1。这时，相似度计算只关心词频分布的相对比例。既然两篇文章都重点讨论了"人工智能"、"机器学习"等话题（即向量方向相近），那么它们的相似度就会很高，完美忽略了文档长度的干扰。

✅ 结论：在文本处理、图像颜色直方图比较、用户兴趣偏好分析等场景中，模长（文档长度、图片亮度、用户活跃度）是干扰噪声，我们真正关心的是分布形态。此时，必须归一化。

三、案例二：何时不用归一化？——当"总量"本身就是信息

场景：推荐系统中的用户评分预测

假设在一个电影评分系统（1-5分）中，有两个用户：

用户A：评分苛刻，平均分2星。但他给了《星际穿越》5星。
用户B：评分宽容，平均分4星。他也给了《星际穿越》5星。

# 用户评分向量示例
user_a_ratings = np.array([5, 3, 2, 1])  # 苛刻用户，但对某部电影给出5星
user_b_ratings = np.array([5, 4, 4, 5])  # 宽容用户，对同一部电影也给出5星

print("用户评分向量:")
print("用户A(苛刻):", user_a_ratings)
print("用户B(宽容):", user_b_ratings)
print()

# 计算模长
norm_a = np.linalg.norm(user_a_ratings)
norm_b = np.linalg.norm(user_b_ratings)
print(f"用户A评分向量模长: {norm_a:.4f}")
print(f"用户B评分向量模长: {norm_b:.4f}")
print()

# 计算未归一化的点积相似度
dot_product_unnormalized = np.dot(user_a_ratings, user_b_ratings)
print(f"未归一化点积相似度: {dot_product_unnormalized:.4f}")

# 计算未归一化的余弦相似度
cosine_sim_unnormalized = dot_product_unnormalized / (norm_a * norm_b)
print(f"未归一化余弦相似度: {cosine_sim_unnormalized:.4f}")
print()

# 归一化向量
normalized_a = user_a_ratings / norm_a
normalized_b = user_b_ratings / norm_b

print("归一化后的评分向量:")
print("用户A:", normalized_a)
print("用户B:", normalized_b)
print()

# 计算归一化后的点积相似度
dot_product_normalized = np.dot(normalized_a, normalized_b)
print(f"归一化后点积相似度: {dot_product_normalized:.4f}")

# 分析差异
print("\n分析:")
print("归一化前，用户A的5星是绝对值5，用户B的5星也是绝对值5")
print("归一化后，用户A的5星被缩放为{:.4f}，用户B的5星被缩放为{:.4f}".format(
    normalized_a[0], normalized_b[0]))
print("这意味着用户A的5星在其评分体系中占比更大，但失去了'绝对值5星'的语义")

归一化的问题：
如果我们对用户评分向量进行归一化，会发生一件微妙的事情：用户A的5星是他评分体系中的最高分，而用户B的5星只是比他的平均分略高一点。归一化拉平了他们的评分尺度，模糊了"他们都给出了绝对最高分"这一强烈信号。系统可能会错误地认为用户A对《星际穿越》的喜爱程度远超用户B。
不归一化的效果：
保持向量的原始模长，点积运算会同时考虑到评分方向和评分绝对值。两个5星是绝对相等的，这表明他们对《星际穿越》的喜爱是同等强烈的。这对于基于用户的协同过滤（User-CF）算法至关重要。

✅ 结论：在推荐系统、经济数据对比、信号强度分析等场景中，向量的模长（绝对评分、经济总量、信号振幅）是核心比较信息的一部分。此时，不应使用归一化。

四、实战决策指南：如何选择？

下次当你犹豫是否要归一化时，问自己这三个问题：

模长差异是噪声还是信息？
- 是噪声（如文档长短、用户活跃度）：-> 用归一化。
- 是信息（如绝对销量、评分强度）：-> 不用归一化。
我想找"同类"还是"克隆"？
- 找"同类"（一个巨人和一个侏儒都是"人"）：-> 用归一化（看形态）。
- 找"克隆"（寻找另一个巨人）：-> 不用归一化（看形态+规模）。
我的算法核心是什么？
- 如果直接用点积，需格外小心，它对模长极度敏感。
- 如果用余弦相似度，其公式内已包含模长归一化，但先做归一化再计算点积是更稳妥的做法。