综合除法计算器 综合除法计算器 计算器
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更新时间：2025.09.09
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合成除法计算器API产品，通过展示中间步骤帮助用户进行多项式的合成除法，支持非首一与二次除数处理，辅助查找零点和因式分解。

综合除法计算器验证工具

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除数系数
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async function calculatorSyntheticDivision() {
    
    
    let url = 'https://openapi.explinks.com/您的username/v1/calculator_synthetic_division/saf2025090923472215bcf6';
    
    const options = {
        method: 'POST',
        headers: {
            'Content-Type': 'application/json',
            'x-mce-signature': 'AppCode/您的Apikey'
        },
        body: {"dividendCoefficients":[0],"divisorCoefficients":[0]}
    };
    
    try {
        const response = await fetch(url, options);
        const data = await response.json();
        
        console.log('状态码:', response.status);
        console.log('响应数据:', data);
        
        return data;
    } catch (error) {
        console.error('请求失败:', error);
        throw error;
    }
}

// 使用示例
calculatorSyntheticDivision()
    .then(result => console.log('成功:', result))
    .catch(error => console.error('错误:', error));

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综合除法计算器

欢迎使用我们的综合除法计算器！它可以帮助您执行多项式的综合除法，同时显示所有中间步骤！

您是否想过什么是综合除法？您需要学习如何进行综合除法吗？我们将教您关于使用综合除法进行多项式除法的所有知识，提供带有步骤的综合除法示例，并解释如何使用综合除法查找零点。作为额外福利，我们还将向您展示如何处理非单项式和二次除数！

🧮

多项式的基本概念

在解释如何使用综合除法进行多项式除法之前，让我们回顾一些基本概念：

  1. 多项式是涉及至少一个变量的非负整数幂之和的表达式，每个幂都乘以实数（或复数），我们称之为系数。
  2. 一个关于变量x的多项式表示为: a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0，其中a_n, a_(n-1),..., a_1, a_0是系数。
  3. 多项式的次数是多项式中存在的最大指数值（具有非零系数）。
  4. 多项式的除法类似于带余数的整数除法，对于两个多项式P(x)和D(x)，总存在唯一的Q(x)和R(x)，使得: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x)，且R(x)的次数小于D(x)的次数。

多项式除法中的术语类似于算术中的术语：P(x)称为被除数，D(x)是除数，Q(x)是商，R(x)是余数。标准的计算方法是多项式长除法，而综合除法则是一种更快捷的方法。

📝

综合除法的基本原理

综合除法是一种多项式除法的快捷方式，只涉及被除数和除数的系数，通过基本算术运算得到商和余数的系数。

综合除法最常用于以下三种情况：

1. 线性单项式除数 (x-b):

最常见的形式，特别适用于验证某数是否为多项式的根。设置一个三行表格：第一行放被除数系数，第二行左侧放b值，第三行通过特定算法填充，最终得到商的系数和余数。

2. 非单项式线性除数 (b₁x+b₀):

处理更通用的线性除数，需要四行表格：第一行放被除数系数，第二行开头放-b₀，第四行放除数的首项系数b₁，第三行通过特定算法填充。

3. 二次多项式除数 (c₂x²+c₁x+c₀):

处理更复杂的二次除数，需要特殊的表格结构，将-c₀放在第二行，-c₁放在第三行并向左偏移，形成左下对角线，最后一行放c₂，通过对角线计算完成除法。

🌰

综合除法计算示例

让我们通过示例来理解如何执行综合除法计算：

示例1: 用 (x-2) 除以 3x³-8x-9

1. 设置表格，第一行放系数: [3, 0, -8, -9]（注意x²项缺失，所以添加0）

2. 第二行左侧放b=2

3. 将首项系数3直接下降到第三行

4. 将3乘以2=6，放在下一列

5. 将0和6相加=6，放在第三行

6. 将6乘以2=12，放在下一列

7. 将-8和12相加=4，放在第三行

8. 将4乘以2=8，放在下一列

9. 将-9和8相加=-1，放在第三行

计算结果：

表格最终形式：

| 3 0 -8 -9

x2| 6 12 8

| 3 6 4 -1

商的系数：[3, 6, 4]，表示 3x² + 6x + 4

余数：-1（由于余数不为0，所以2不是原多项式的根）

🌍

综合除法的应用

综合除法在数学中有许多重要应用，特别是在多项式分析和处理方面：

查找多项式零点： 综合除法是验证潜在多项式零点的有效工具。如果多项式p除以(x-b)的余数为0，则b是p的零点/根。这基于多项式余数定理，该定理指出多项式p在x=b处的值等于p(x)除以(x-b)的余数。

相比于直接代入值计算，综合除法需要更少的乘法运算，因此计算效率更高。这在处理高次多项式时尤为明显。

多项式因式分解： 综合除法是多项式因式分解的重要工具。通过找到多项式的根，可以将多项式分解为线性因子的乘积。具体步骤如下：

  1. 使用有理根定理列出所有潜在的有理根
  2. 使用综合除法验证每个候选根
  3. 找到一个根后，从原多项式中因式分解出(x-根)
  4. 对剩余的商多项式重复此过程
  5. 继续直到完全分解或得到无法进一步分解的二次多项式
📚

相关数学概念

了解以下相关概念有助于更全面地理解综合除法：

多项式余数定理 (小贝祖定理)： 对于多项式p(x)和数值b，p(b)等于p(x)除以(x-b)的余数。这是综合除法在验证零点时有效性的理论基础。

因子定理： 数值b是多项式p(x)的零点，当且仅当(x-b)是p(x)的因子。综合除法可以快速验证这一点，通过检查除以(x-b)后的余数是否为0。

有理根定理： 对于整系数多项式，如果p/q是其有理根（以最简分数形式表示），则p是常数项的因子，q是首项系数的因子。这有助于缩小潜在有理根的搜索范围。

鲁菲尼法则 (Ruffini's Rule)： 综合除法有时也被称为鲁菲尼法则，因为它是由意大利数学家保罗·鲁菲尼(Paolo Ruffini)在1804年首次描述的。

❓

常见问题

综合除法和多项式长除法有什么区别？

综合除法和多项式长除法都是用于多项式除法的方法，但综合除法更为简洁高效。长除法需要写出完整的多项式表达式，而综合除法只处理系数，通过特定的表格和算法直接计算。综合除法尤其适合线性除数(x-b)，但也可扩展到更复杂的除数。两种方法得到的结果完全相同，只是计算过程不同。

如何使用综合除法验证零点？

要验证数值b是否为多项式p(x)的零点，只需将p(x)用综合除法除以(x-b)。如果得到的余数为0，则b是p(x)的零点；如果余数不为0，则b不是零点。这基于多项式余数定理，该定理指出多项式p在x=b处的值等于p(x)除以(x-b)的余数。这比直接代入值计算p(b)更高效，尤其对于高次多项式。

综合除法可以用于什么类型的除数？

综合除法可以用于多种类型的除数，包括：1) 线性单项式除数(x-b)，这是最常见和简单的形式；2) 线性非单项式除数(b₁x+b₀)，需要额外的步骤；3) 二次多项式除数(c₂x²+c₁x+c₀)或更高次多项式除数。虽然综合除法原则上适用于任何多项式除数，但随着除数次数的增加，计算过程会变得更复杂。对于非常高次的除数，可能传统的长除法或计算机代数系统更为实用。

API接口列表
综合除法计算器
综合除法计算器
1.1 简要描述
综合除法计算器
1.2 请求URL
/[[username]]/v1/calculator_synthetic_division/[[function-no]]
1.3 请求方式
POST
1.4 入参
参数名 参数类型 默认值 是否必传 描述
dividendCoefficients array [1,0,-2,0] 否 被除多项式的系数数组，按降幂排列（从高次项到常数项）。例如：[3,0,-8,-9]表示3x³-8x-9
divisorCoefficients array [2] 否 除数的系数数组。根据除数类型有不同的含义： - 一次单项式(x-b)：只需提供[b]，如[2]表示x-2 - 一次非单项式：提供[b₁,b₀]，如[2,1]表示2x+1 - 二次多项式：提供[c₂,c₁,c₀]，如[2,-4,5]表示2x²-4x+5
1.5 出参
参数名 参数类型 默认值 描述
quotientCoefficients array 多项式除法得到的商的系数，按降幂排列
divisionTable array 综合除法计算表格的行表示
remainderCoefficients array 多项式除法得到的余数的系数，按降幂排列。如果被除数能被整除，则为[0]
isZero boolean false 当除数为一次单项式(x-b)时，指示b是否为原多项式的零点/根
divisionExpression string 格式化的多项式除法表达式，如：(3x³-8x-9)÷(x-2)=3x²+6x+4-1/(x-2)
1.6 错误码
错误码 错误信息 描述
FP00000 成功
FP03333 失败
1.7 示例 
参考上方对接示例