笛卡尔符号法则计算器 笛卡尔符号法则计算器 计算器
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更新时间：2025.09.11
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API在线试用与对比

使用笛卡尔符号变化规则的API产品，帮助用户确定多项式的正负实根数量，提供即时计算结果及详细解释，适合数学学习与应用。

笛卡尔符号法则计算器验证工具

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async function calculatorDescartesRuleOfSigns() {
    
    
    let url = 'https://openapi.explinks.com/您的username/v1/calculator_descartes_rule_of_signs/saf2025091143621c0d6292';
    
    const options = {
        method: 'POST',
        headers: {
            'Content-Type': 'application/json',
            'x-mce-signature': 'AppCode/您的Apikey'
        },
        body: {"coefficients":[0]}
    };
    
    try {
        const response = await fetch(url, options);
        const data = await response.json();
        
        console.log('状态码:', response.status);
        console.log('响应数据:', data);
        
        return data;
    } catch (error) {
        console.error('请求失败:', error);
        throw error;
    }
}

// 使用示例
calculatorDescartesRuleOfSigns()
    .then(result => console.log('成功:', result))
    .catch(error => console.error('错误:', error));

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无论个人还是企业，都能够快速的将API集成到你的应用场景，在多个渠道之间轻松切换。

API特性

精准计算，轻量返回
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📊

笛卡尔符号法则计算器

我们的笛卡尔符号法则计算器可以帮助您学习和使用这个著名的法则，它允许您找到任何多项式可能的正根数量，以及其负根和非实根的潜在数量。

您是否已经了解了什么是笛卡尔符号法则？如果没有，不用担心——我们在下面解释笛卡尔符号法则，以便您可以立即开始使用它！为了避免任何混淆，我们还包含了如何使用笛卡尔符号法则的分步指南。我们还提供了一些笛卡尔符号法则在实践中使用的例子！

渴望了解更多关于多项式的知识？您可能会从了解Omni拥有一整套有用的计算器中受益：加减多项式计算器、乘法多项式计算器、除法多项式计算器、多项式综合除法计算器和有理根检验计算器。请务必尝试每一个！

🧮

如何使用笛卡尔符号法则？

要将笛卡尔符号法则应用于 p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ，请按以下步骤操作：

  1. 计算 a₀, a₁, a₂, a₃, ... , aₙ 中的符号变化次数（不包括零）。
  2. 写下符号变化的次数。从2开始，依次减去偶数，直到得到1或0。
  3. 从减法中得到的每个数字都给出了 p(x) 可能的正根数量。
  4. 要得到 p(x) 的负根数量，对 p(-x) 重复步骤1-3。

💡 要得到 p(-x) 的系数，只需交换 p(x) 每个奇数次项系数的符号，从 a₁ 开始。即，p(-x) 的系数是 a₀, -a₁, a₂, -a₃, ... , aₙ

我们可以用文字表达步骤4如下：p(x) 的负根数量等于 p(-x) 系数中的符号变化次数减去某个偶数（可能为零）。

📝

笛卡尔符号法则原理

对于多项式 p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ

符号变化次数 = 统计相邻非零系数符号不同的次数

正根数 ∈ {k, k-2, k-4, ..., 0或1}
其中k为原多项式系数的符号变化次数

负根数量：对p(-x)重复上述步骤
p(-x)的系数 = [a₀, -a₁, a₂, -a₃, ...]

零根重数 = min{i | aᵢ ≠ 0}

最小非实根数 = n - (零根重数 + 最大正根数 + 最大负根数)

这个方法表明正零点的数量被多项式系数中符号变化的数量所限制，并且这两个数字具有相同的奇偶性。特别是，如果符号变化的数量为零或一，那么多项式分别恰好有零个或一个正根。这个规则是由笛卡尔在《几何学》中发现的。

🌰

笛卡尔符号法则示例

示例1：考虑多项式 p(x) = 6x⁵ + 5x⁴ − 4x³ + 3x² + 2x + 1

分析过程：

• 多项式的次数是5

• 常数项是1，所以零不是这个多项式的根

• p(x)的系数是：6, 5, -4, 3, 2, 1。符号变化两次

• 因此，p的可能正根数量是：2或0

• p(-x) = -6x⁵ + 5x⁴ + 4x³ + 3x² − 2x + 1

• p(-x)的系数是：-6, 5, 4, 3, -2, 1。符号变化三次

• 因此，p的可能负根数量是：3或1

• 最小非实根数量 = 5 − (0 + 2 + 3) = 0

示例2：考虑多项式 p(x) = x³ − 2x² − x

分析过程：

• 多项式的次数是3

• 常数项为零，所以零是一个根。最小非零系数的次数是1，所以零的重数是1

• p(x)的系数是：1, -2, -1。符号变化一次

• 因此，p的可能正根数量是1

• p(-x) = -x³ − 2x² + x的系数是：-1, -2, 1。符号变化一次

• 因此，p的可能负根数量是1

• 最小非实根数量 = 3 − (1 + 1 + 1) = 0

注意，我们仅使用笛卡尔符号法则就确定了正根和负根的确切数量，而无需进行任何复杂的计算！

🌍

实际应用

笛卡尔符号法则是一种确定多项式可能的正实零点、负实零点和非实零点数量的方法。这个规则在多个领域都有重要应用：

数学教育：帮助学生理解多项式方程根的分布，在不实际求解方程的情况下快速了解根的可能情况。这对于检验计算结果的合理性特别有用。

工程计算：在控制系统、信号处理中快速判断系统稳定性。例如，在分析传递函数时，可以快速确定系统是否有正实部的极点，从而判断系统稳定性。

科学研究：分析物理、化学模型中的平衡点。许多科学模型最终归结为多项式方程，笛卡尔符号法则可以帮助研究人员快速了解可能存在多少个物理上有意义的解。

算法优化：在数值计算前预估根的分布，选择合适的求解算法。知道根的可能分布可以帮助选择更高效的数值方法，避免在不存在根的区域进行无意义的搜索。

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其他相关概念

要确定非实根的数量，您需要：确定多项式的次数n（这是多项式中出现的最高次幂）。计算零作为根的重数，记为k。使用笛卡尔符号法则找到正根和负根的最大可能数量，分别记为p和q。计算 n − (k + p + q)。这就是您的多项式的最小非实根数量。

零作为根的重数等于具有非零系数的最小次幂。例如：2x + 4x²的零根重数为1；2 + 4x²没有零作为根；2x⁷ − 4x⁹的零根重数为7。

💡 如果两个数具有相同的奇偶性，它们在模2下相等，或者除以2时具有相同的余数。这个性质在笛卡尔符号法则中很重要，因为正根的数量与符号变化的数量具有相同的奇偶性。

虽然笛卡尔符号法则总是有效的，但请记住它只是说明可能的正零点和负零点的数量。它很少能给出正零点或负零点（或两者）的确切数量。这个方法的价值在于它能够快速缩小搜索范围，为更精确的数值方法提供指导。

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常见问题

笛卡尔符号法则总是有效吗？

是的，笛卡尔符号法则总是有效的，但请记住它只说明可能的正零点和负零点的数量。它很少能给出正零点或负零点（或两者）的确切数量。这个方法给出的是一个上界和可能性，而不是精确值。

笛卡尔符号法则能给出零作为可能的根数量吗？

是的，笛卡尔符号法则可以给出零作为多项式的可能正根或负根数量。特别是，如果系数中没有符号变化，则该规则表明恰好有零个正根。

如何使用笛卡尔符号法则计算器？

使用我们的笛卡尔符号法则计算器非常简单：

1. 输入多项式的系数。字段会随着您的输入而出现。

2. 我们的笛卡尔符号法则计算器会立即给出答案。它出现在系数字段下方。

3. 如果您希望计算器解释答案，请打开"显示详情？"选项。这样，您可以使用我们的计算器生成笛卡尔符号法则的示例。

API接口列表
笛卡尔符号法则计算器
笛卡尔符号法则计算器
1.1 简要描述
笛卡尔符号法则计算器
1.2 请求URL
/[[username]]/v1/calculator_descartes_rule_of_signs/[[function-no]]
1.3 请求方式
POST
1.4 入参
参数名 参数类型 默认值 是否必传 描述
coefficients array [1,2,-1,3] 否 多项式的系数数组，按照从常数项a0到最高次项an的顺序排列。例如：对于多项式 1 + 2x - x^2 + 3x^3，系数为 [1, 2, -1, 3]
1.5 出参
参数名 参数类型 默认值 描述
minNonRealRoots integer 0 多项式的最小非实根（复数根）数量
negativeRoots array [1] 根据笛卡尔符号法则计算出的所有可能的负实根数量
zeroMultiplicity integer 0 零作为根的重数，等于最小非零系数项的次数
degree integer 3 多项式的最高次数
signChangesOriginal integer 2 原多项式p(x)系数的符号变化次数
positiveRoots array [2,0] 根据笛卡尔符号法则计算出的所有可能的正实根数量
signChangesNegated integer 1 多项式p(-x)系数的符号变化次数
1.6 错误码
错误码 错误信息 描述
FP00000 成功
FP03333 失败
1.7 示例 
参考上方对接示例