奇异值分解计算器 奇异值分解计算器 计算器
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更新时间：2025.09.18
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使用SVD计算器快速掌握矩阵的奇异值分解，支持手动计算步骤及理论学习。非唯一分解，U和V为正交矩阵，Σ包含矩阵A的奇异值。

奇异值分解计算器验证工具

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async function calculatorSvd() {
    
    
    let url = 'https://openapi.explinks.com/您的username/v1/calculator_svd/saf202509181734241dbc53';
    
    const options = {
        method: 'POST',
        headers: {
            'Content-Type': 'application/json',
            'x-mce-signature': 'AppCode/{您的Apikey}'
            // AppCode是常量,不用修改； Apikey在‘控制台 -->API KEYs --> 选择’API应用场景‘，复制API key
        },
        body: {"matrixElements":[0],"rowCount":0,"columnCount":0}
    };
    
    try {
        const response = await fetch(url, options);
        const data = await response.json();
        
        console.log('状态码:', response.status);
        console.log('响应数据:', data);
        
        return data;
    } catch (error) {
        console.error('请求失败:', error);
        throw error;
    }
}

// 使用示例
calculatorSvd()
    .then(result => console.log('成功:', result))
    .catch(error => console.error('错误:', error));

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API特性

精准计算，轻量返回
AI 模拟渠道
极简集成体验
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奇异值分解计算器

借助我们的SVD计算器，矩阵的奇异值分解将不再给您带来任何困扰——您将快速掌握线性代数中这个重要的主题。向下滚动并学习：什么是奇异值分解？如何使用我们的SVD计算器找到矩阵的SVD？如何手动计算矩阵的SVD？奇异值分解是唯一的吗？

奇异值分解（SVD）是一种矩阵分解的方法：任何大小为m×n的实矩阵A都可以分解为A = UΣVᵀ的形式，其中U和V分别是大小为m×m和n×n的正交矩阵，Σ是与A相同大小（即m×n）的矩形矩阵，其对角线上有非负数，其他地方都是零。Σ的对角元素实际上就是A的奇异值。

🧮

如何使用这个SVD计算器？

使用这个SVD计算器非常简单！

  1. 选择矩阵大小：A中的行数和列数。
  2. 在专用字段中输入矩阵元素。
  3. 奇异值分解的组成部分U、Σ和Vᵀ将出现在计算器的底部。
  4. 想要验证结果吗？只需执行结果的三个矩阵的矩阵乘法，并将该结果与您的初始矩阵进行比较。请记住，数值计算和舍入可能会导致微小的差异！

想要了解SVD计算器是如何得到结果的吗？在下一节中，我们将讨论奇异值分解背后的所有理论，并逐步解释如何找到矩阵的SVD。准备好了吗？

📝

奇异值分解公式

A = U × Σ × Vᵀ

其中：

  • U 是 m×m 的正交矩阵（左奇异向量矩阵）
  • Σ 是 m×n 的对角矩阵（奇异值矩阵）
  • Vᵀ 是 n×n 的正交矩阵V的转置（右奇异向量矩阵）

如果A是复数矩阵，则用复共轭V*替换转置Vᵀ（我们还有矩阵转置计算器来帮助您）。U和V然后变成酉矩阵，但Σ仍然在其对角线上具有实非负数。

🌰

如何手动计算矩阵的SVD？

这里是如何手动计算m×n矩阵A的奇异值分解。我们将看到SVD与A的特征值和特征向量密切相关。

详细步骤：

1. 计算AᵀA。

2. 计算AᵀA的特征值和特征向量。

3. 绘制与A相同大小的矩阵，并用您在步骤2中找到的特征值的平方根填充其对角线元素。这就是Σ。

4. 写下列为您在步骤2中找到的特征向量的矩阵。这就是V。

5. SVD方程A = UΣVᵀ转换为AV = UΣ。我们可以将其按列重写为Avᵢ = σᵢuᵢ。这告诉我们如何计算U，因为U的列设置为uᵢ = (1/σᵢ)Avᵢ，对于每个σᵢ ≠ 0的i。

6. 如果U需要更多列来填充其大小，您可以选择任意向量，但必须确保U是正交矩阵。因此，您必须选择具有单位长度并与U中所有列（以及您要添加的列）正交的向量。

正如我们记得的，我们可以轻松地找到方阵的特征值和特征向量，但A在SVD中可以是矩形的。我们该怎么办？让我们考虑与A密切相关的两个方阵：这些矩阵是AᵀA和AAᵀ。

🌍

实际应用

一旦我们知道了矩阵的奇异值分解是什么，看一些例子将是有益的。手动计算SVD是一个耗时的过程，正如我们将在如何计算矩阵的SVD部分中看到的。我们打赌生成SVD示例的最快方法是使用Omni的奇异值分解计算器！

图像压缩： 将图像矩阵进行SVD分解，只保留最大的几个奇异值，可以实现图像压缩。通过这种方式，我们可以识别数据中最重要的特征（大的奇异值对应的部分），去除噪声（小的奇异值往往对应噪声），并压缩数据（只保留重要的奇异值）。

例如，一张4×3的矩阵M的奇异值分解可以帮助我们理解图像的行信息特征（U矩阵）、各个特征的重要程度（Σ矩阵中的奇异值）以及图像的列信息特征（V矩阵）。

推荐系统： 在推荐系统中，用户-物品评分矩阵可以通过SVD分解来预测未知评分。通过这种分解，我们可以找出潜在特征，从而为用户推荐他们可能感兴趣的物品。

数据降维： 在机器学习中，SVD可以用于降低数据维度，去除噪声。高维数据可以通过保留最重要的奇异值来降到更低的维度，同时保持数据的主要特征。

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其他相关概念

SVD将任意矩形矩阵A分解为三个矩阵UΣVᵀ的乘积，这受到一些约束。这些U和V是正交矩阵。Σ与A具有相同的大小，并包含A的奇异值作为其对角线元素。

如果A是实对称的，那么它的奇异值（Σ的对角元素）与其特征值的绝对值一致。U和V的列是A的单位特征向量。特别是，如果A的特征值都严格为正（即A是正定的），那么U = V，A的SVD与A的特征分解一致。

对于酉矩阵，SVD是平凡的。即，如果A是酉的（即AA* = A*A = I），那么A的所有奇异值都等于1。因此，在SVD中我们有U = A，Σ = I，V = I。

V的列是AᵀA的特征向量。Σ的非零元素是A的非零奇异值，即它们是AᵀA的非零特征值的平方根。一旦我们知道V和Σ，我们就可以从SVD公式（A = UΣVᵀ）恢复U。

❓

常见问题

奇异值分解是唯一的吗？

不，SVD不是唯一的。即使我们同意让Σ的对角元素按降序排列（这使Σ唯一），矩阵U和V仍然是非唯一的。

什么是奇异值分解？

奇异值分解（SVD）是一种矩阵分解的方法：任何大小为m×n的实矩阵A都可以分解为A = UΣVᵀ的形式，其中U和V分别是大小为m×m和n×n的正交矩阵，Σ是与A相同大小的矩形矩阵，其对角线上有非负数，其他地方都是零。

如何使用SVD计算器找到矩阵的SVD？

使用SVD计算器非常简单：1) 选择矩阵大小（行数和列数）；2) 在专用字段中输入矩阵元素；3) 奇异值分解的组成部分U、Σ和Vᵀ将自动出现在计算器的底部。您可以通过执行三个矩阵的乘法来验证结果。

如何手动计算矩阵的SVD？

手动计算SVD的步骤：1) 计算AᵀA；2) 计算AᵀA的特征值和特征向量；3) 创建Σ矩阵，对角线元素为特征值的平方根；4) V矩阵的列为特征向量；5) 通过公式uᵢ = (1/σᵢ)Avᵢ计算U矩阵；6) 如需要，添加正交向量以填充U矩阵。

API接口列表
奇异值分解计算器
奇异值分解计算器
1.1 简要描述
奇异值分解计算器
1.2 请求URL
/[[username]]/v1/calculator_svd/[[function-no]]
1.3 请求方式
POST
1.4 入参
参数名 参数类型 默认值 是否必传 描述
matrixElements array [1,2,3,4,5,6,7,8,9] 否 按行优先顺序排列的矩阵元素数组，长度应等于行数×列数
rowCount integer 3 否 矩阵的行数，取值范围[1, 10]
columnCount integer 3 否 矩阵的列数，取值范围[1, 10]
1.5 出参
参数名 参数类型 默认值 描述
matrixV array 右奇异向量矩阵，大小为n×n的正交矩阵，按行优先顺序排列
matrixU array 左奇异向量矩阵，大小为m×m的正交矩阵，按行优先顺序排列
singularValues array 矩阵的奇异值数组，按降序排列
matrixSigma array 奇异值对角矩阵，大小为m×n，对角线元素为奇异值（降序排列），其余为0，按行优先顺序排列
matrixRank integer 矩阵的秩，等于非零奇异值的个数
1.6 错误码
错误码 错误信息 描述
FP00000 成功
FP03333 失败
1.7 示例 
参考上方对接示例