乘法逆元模运算计算器 乘法逆元模运算计算器 计算器
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更新时间：2025.09.18
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乘法逆元模计算器用于快速查找模m的乘法逆元，适用于数学作业、编程项目等。通过Bézout恒等式或蛮力法计算，并提供检查逆元存在性的功能。

乘法逆元模运算计算器验证工具

整数a
模数m
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async function calculatorMultiplicativeInverseModulo() {
    
    
    let url = 'https://openapi.explinks.com/您的username/v1/calculator_multiplicative_inverse_modulo/saf202509187694241dbc74';
    
    const options = {
        method: 'POST',
        headers: {
            'Content-Type': 'application/json',
            'x-mce-signature': 'AppCode/{您的Apikey}'
            // AppCode是常量,不用修改； Apikey在‘控制台 -->API KEYs --> 选择’API应用场景‘，复制API key
        },
        body: {"integerA":0,"moduloM":0}
    };
    
    try {
        const response = await fetch(url, options);
        const data = await response.json();
        
        console.log('状态码:', response.status);
        console.log('响应数据:', data);
        
        return data;
    } catch (error) {
        console.error('请求失败:', error);
        throw error;
    }
}

// 使用示例
calculatorMultiplicativeInverseModulo()
    .then(result => console.log('成功:', result))
    .catch(error => console.error('错误:', error));

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精准计算，轻量返回
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乘法逆元模运算计算器

乘法逆元模运算计算器是一个非常有价值的工具，无论您是为了数学作业、编程项目还是其他科学工作，只要需要快速找到某个模 m 的乘法逆元，它都能派上用场。

在模运算的世界里，乘法逆元是一个特殊的整数。对于整数 a 和 x，如果 a × x 除以 m 的余数等于 1，我们就说 x 是 a 在模 m 下的乘法逆元。用数学符号表示就是：a × x ≡ 1 (mod m)。

在下面的简短文章中，我们将解释如何找到乘法逆元模——既可以通过贝祖恒等式，也可以通过暴力方法（取决于您对数学精妙之处的关心程度）。为了避免您做无用功，我们还会告诉您如何首先检查乘法模逆元是否存在。

🧮

如何使用这个乘法逆元模计算器？

使用这个乘法逆元模计算器非常简单：

  1. 输入一个正整数 m：我们计算模运算的数。
  2. 输入一个整数 a：我们要寻找其在模 m 下的乘法逆元的数。
  3. 我们的计算器会立即返回答案，同时还会提供简短的解释。

您是否好奇我们的工具如何能如此快速地解决这个模运算问题？在下一节中，我们将解释我们计算器中实现的方法。

📝

核心公式与原理

a × x ≡ 1 (mod m)
即：(a × x) mod m = 1

存在条件：乘法逆元存在的充要条件是 a 和 m 互质（最大公约数为 1）：

gcd(a, m) = 1

贝祖恒等式：对于整数 a 和 m，存在整数 x 和 y 使得：

a × x + m × y = gcd(a, m)

当 gcd(a, m) = 1 时，求出的 x 就是 a 在模 m 下的乘法逆元。这个方法使用扩展欧几里得算法来高效计算。

🌰

计算示例

让我们通过一个简单的例子来理解：找出 3 在模 7 下的乘法逆元。

暴力搜索方法：

• 试试 x = 1：3 × 1 = 3，3 mod 7 = 3 ✗

• 试试 x = 2：3 × 2 = 6，6 mod 7 = 6 ✗

• 试试 x = 3：3 × 3 = 9，9 mod 7 = 2 ✗

• 试试 x = 4：3 × 4 = 12，12 mod 7 = 5 ✗

• 试试 x = 5：3 × 5 = 15，15 mod 7 = 1 ✓

所以 5 是 3 在模 7 下的乘法逆元。

再看一个不存在逆元的例子：找出 3 在模 6 下的乘法逆元。

检查存在性：

gcd(3, 6) = 3 ≠ 1

因为 3 和 6 不互质，所以乘法逆元不存在。您可以验证：对于 x ∈ {1, 2, 3, 4, 5} 中的每个数，(3 × x) mod 6 的结果都不等于 1。

这就是为什么在计算逆元之前，先检查两个数是否互质非常重要。

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实际应用

乘法逆元模运算在许多领域都有重要应用，特别是在密码学和计算机科学中。

RSA 加密算法：RSA 是最广泛使用的公钥加密算法之一，其核心就是乘法逆元的计算。在 RSA 中，公钥 e 和欧拉函数 φ(n) 必须互质，而私钥 d 正是 e 在模 φ(n) 下的乘法逆元。

例如，如果 e = 17，φ(n) = 3120，那么私钥 d 就是 17 在模 3120 下的乘法逆元，计算得 d = 2753。验证：17 × 2753 = 46801，46801 mod 3120 = 1。

解模运算方程：乘法逆元可以用来解形如 ax ≡ b (mod m) 的线性同余方程。例如，要解方程 3x ≡ 4 (mod 7)：

1. 先求 3 在模 7 下的逆元，得到 5

2. 两边同时乘以 5：5 × 3x ≡ 5 × 4 (mod 7)

3. 简化得：x ≡ 20 ≡ 6 (mod 7)

所以 x = 6 是方程的解。

编程竞赛：在许多算法竞赛中，需要计算组合数的模运算结果。由于组合数公式涉及除法，而在模运算中不能直接做除法，这时就需要用乘法逆元来代替除法运算。例如，计算 C(n,k) mod p 时，需要计算 k! 和 (n-k)! 在模 p 下的乘法逆元。

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其他相关概念

模运算基础：模运算是整数运算的一种形式，它关注的是除法的余数。例如，17 mod 5 = 2，因为 17 除以 5 得 3 余 2。我们假设您已经熟悉数学中的模运算。如果不是这样（或者您觉得需要复习），请查看 Omni 的模运算计算器。

最大公约数（GCD）：两个数的最大公约数是能同时整除这两个数的最大正整数。在判断乘法逆元是否存在时，GCD 起着关键作用。如果 gcd(a, m) = 1，我们说 a 和 m 互质，这时乘法逆元才存在。要快速确定两个整数的最大公约数，可以使用 Omni 的 GCF 计算器。

扩展欧几里得算法：这是计算乘法逆元的高效方法。它不仅能找到两个数的最大公约数，还能找到贝祖恒等式中的系数 x 和 y。当 gcd(a, m) = 1 时，算法找到的 x 就是 a 的乘法逆元。

逆元的唯一性：虽然乘法逆元在模 m 意义下是唯一的，但如果 x 是 a 的乘法逆元，那么 x + k×m（其中 k 是任意整数）也是 a 的乘法逆元。不过，在集合 {1, ..., m-1} 中，解是唯一的。

❓

常见问题

如何手动找到乘法模逆元？

要通过暴力方法手动找到 a 模 m 的乘法逆元：

1. 从集合 {0, 1, ..., m-1} 中取任意数 x，计算 a × x。

2. 找出 a × x 除以 m 的余数。

3. 如果这个余数是 1，您就找到了解。

4. 如果不是，对不同的数 x 重复步骤 1-3。

5. 如果 {0, 1, ..., m-1} 中的所有数都失败了，那么 a 模 m 的乘法逆元不存在。

乘法逆元模 m 是唯一的吗？

不是——如果 x 是 a 模 m 的乘法逆元，那么形式为 x + (k×m) 的每个数（其中 k 是整数）也是 a 模 m 的乘法逆元。然而，在集合 {1, ..., m-1} 中，解是唯一的。

142 有模 76 的乘法逆元吗？

没有，142 没有模 76 的乘法逆元。原因是这些数不是互质的，即它们的最大公因数超过 1。实际上，我们立即看到 142 和 76 都能被 2 整除。

哪些数有模 11 的乘法逆元？

每个不是 11 的倍数的整数都有模 11 的乘法逆元。这是因为 11 是质数，所以它只与它的倍数不互质。计算乘法逆元可能很繁琐，所以不要犹豫使用在线乘法逆元模计算器。

API接口列表
乘法逆元模运算计算器
乘法逆元模运算计算器
1.1 简要描述
乘法逆元模运算计算器
1.2 请求URL
/[[username]]/v1/calculator_multiplicative_inverse_modulo/[[function-no]]
1.3 请求方式
POST
1.4 入参
参数名 参数类型 默认值 是否必传 描述
integerA integer 3 否 需要计算乘法逆元的整数
moduloM integer 7 否 模运算的模数，必须为正整数
1.5 出参
参数名 参数类型 默认值 描述
inverse integer a在模m下的乘法逆元x，满足 a × x ≡ 1 (mod m)，当不存在时为null
exists boolean 表示乘法逆元是否存在
gcd integer a和m的最大公约数gcd(a,m)
description string 对计算结果的详细说明
isCoprime boolean a和m是否互质（gcd(a,m) = 1）
verification string 验证计算结果的表达式，如 '3 × 5 ≡ 1 (mod 7)'
1.6 错误码
错误码 错误信息 描述
FP00000 成功
FP03333 失败
1.7 示例 
参考上方对接示例